Понятие погрешности числа

Разность точного и приближенного значений величины называется погрешностью приближения (обозначается х),

т.е. х=х-а - погрешность приближения

откуда х=а+ х,

т.е. истинное значение равно сумме приближенного значения и погрешности приближения.

Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа х.

т.е. -абсолютная погрешность приближения.

Запись х= а h означает, что истинное значение величины х заключено между границами, т.е. а - h х а + h

Пример 1. На предприятии 1284рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300 -1284 = 16. При округлении до 1280 абсолютная погрешность состав­ляет 1284 - 1280 = 4.

Пример 2. Даны приближенные значения числа х= ; Какое из этих трех приближений является лучшим?

Решение:

Находим ; Лучшим приближением числа х является

Пример 3.Длина детали х (см) заключена в границах 33 х 34. Найти границу абсолютной погрешности измерения детали.

Решение: Примем за приближенное значение длины детали среднее арифметическое границ: а=(33+34)/2 = 33,5 (см).

Тогда граница абсолютной погрешности приближенного значения длины детали не превзойдет 0,5 (см). Величину можно найти и как полуразность верхней и нижней границ, т.е. = (34-33)/2 = 0,5 (см). Длина детали х, найденная с точностью до =0,5 (см), заключена между приближенными значениями числа х:

33,5-0,5 х 33,5+0,5;

х=33,5 0,5 (см).

Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины называется относительной погрешностью приближения и обозначается .

Т.е.

= является относительной погрешностью приближения

Пример 1.При измерении длины L и диаметра проводника получили L=(10,0 0,1) м, d = (2,5 0,1) мм. Какое из этих измерений точнее?

Решение: Измерение длины проводника производилось с точностью до 0,1м=100мм, а измерение диаметра проводника – с точностью до 0,1мм.

При измерении длины проводника допускается абсолютная погрешность в 100мм на 10000мм, и, следовательно, допустимая абсолютная погрешность составляет

измеряемой величины.

При измерении диаметра допустимая абсолютная погрешность составляет

измеряемой величины. Следовательно, измерение длины проводника выполнено точнее.

Пример 2. Известно, что 0,111 является приближенным значением для Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближения.

Решение:Здесь х= , а=0,111. Тогда = х-а = 1/9 – 0,111 = 1/9000-а.п.п,

-о.п.п

Пример 3.В школе 197 учащихся. Округляем это число до 200. Абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна или, округленно, %.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относи­тельная) не превосходит некоторого числа.

Пример 4.

Продавец взвешивает арбуз на ча­шечных весах. В наборе гирь наименьшая— 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число — приближенное. Точная масса арбуза неизвестна. Но абсолютная по­грешность не превышает 50 г. Относительная погреш­ность не превосходит %.

Комплексные числа.

Графическое изображение комплексных чисел.
Изображение комплексных чисел.

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом.Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат xOy . Каждому комплексному числу z = a + bi можно сопоставить точку с координатами (a;b) , и наоборот, каждой точке с координатами (c;d) можно сопоставить комплексное число w = c + di . Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Пример. Изобразим на комплексной плоскости числа

Z₁ = 2 + i; z₂ = 3i; z₃ = -3 + 2i; z₄ = -1 – i.

Решение:

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, а умножение — по правилу (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i (здесь как раз используется, что i² = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi. Равенство z · = a² + b² позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

.

Например,

Задачи для самостоятельного решения по теме:

«Развитие понятия о числе»

1 ВАРИАНТ

1. Запишите число в стандартном виде:

а)730000000; б)0,0000025;

в)0,24 *10^-3; г)75,2*10⁴.

2. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби:

а) б)

3. Вычислите:

4. Найдите сопряжённое число комплексному числу:

z= 4 + 5i.

5. Обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные:

а) 0,(42); б) 0,(513).

6. Обратите смешанные периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби:

а) 0,0(27); б) 0,0(01).

7. Даны числа z₁= - 1 +3 i, z₂= 4 + 5i. Вычислите:

а) модули чисел z₁ и z₂;

б) сумму чисел z₁ и z₂;

в) разность чисел z₁ и z₂;

г) произведение чисел z₁ и z₂.

8. Постройте комплексные числа в координатной плоскости:

z₁= - 1 +3i, z₂= 4 + 5i.

9. Найдите значение дроби:

2 ВАРИАНТ

1. Запишите число в стандартном виде:

а) 37000000; б)0,00000052;

в) 0,42*10^-4; г)52,7*10⁵.

2. Представьте обыкновенную дробь в виде десятичной периодической дроби:

а) б)

3. Вычислите:

4. Найдите сопряжённое число комплексному числу:

z= 4 -7i.

5. Обратите чистые периодические десятичные дроби в обыкновенные:

а) 0,(72); б) 0,(918).

6. Обратите смешанные периодические десятичные дроби в обыкновенные дроби:

а) 0,3(6); б) 0,11(6).

7. Даны числа z₁= - 3 +5i, z₂= 4 -7i. Вычислите:

а) модули чисел z₁ и z₂ ;

б) сумму чисел z₁ и z₂;

в) разность чисел z₁ и z₂;

г) произведение чисел z₁ и z₂.

8. Постройте комплексные числа в координатной плоскости:

z₁= - 3 + 5i, z₂= 4 -7i.

9. Найдите значение дроби:

Поиск по сайту: