Для кожного, відмінного від нуля, цілого невід’ємного числа а існує єдине попереднє число

Для довільних двох цілих невід’ємних чисел, якщо вони різні, то й наступні за ними числа різні:

Для довільних двох цілих невід’ємних чисел, якщо наступні за ними числа різні, то й самі числа різні:

Цілі невід’ємні числа 0/,О", 0′",О′'"позначають відповідно 0, 1,2,3...

Цілі невід’ємні числа, відмінні від нуля, називаються натуральними числами. Множину всіх натуральних чисел позначають N. Отже, N :=N о \ {0}.

Аксіоматичний підхід до побудови множини цілих невід’ємних чисел у шкільному курсі математики не розглядається, але властивості відношення "безпосередньо йде за", які знайшли своє відображення в аксіомах Пеано 1—4, є предметом вивчення в школі і використовуються при розв’язуванні задач. Уже в першому класі при розгляді чисел першого десятка з’ясовується, як може бути отримане кожне число, при цьому широко використовується поняття "йде за" ("наступне за"), "передує" ("попереднє до"), які вводяться за допомогою додавання і віднімання одиниці. Кожне нове число виступає як продовження раніше вивченого відрізка натурального ряду чисел. При такому підході створюються умови для того, щоб діти помітили деяку спільну властивість чисел натурального ряду: не тільки дане число, яке розглядається на цьому уроці, але й взагалі довільне число може бути одержане додаванням одиниці до числа, яке йде при лічбі зразу перед ним, тобто довільне число на одиницю більше, ніж число, що йому передує.Отже, уже в початковій школі учні переконуються в тому, що за кожним натуральним числом іде наступне число і при тому тільки одне, що натуральний ряд чисел нескінченний.

Аксіоматичне означення додавання цілих невід'ємних чисел

Додаванням цілих невід'ємних чисел називається операція, яка кожній парі чисел а і b ставить у відповідність число а + b таке, що мають місце аксіоми:

₩aЄ N0:a + 0 = a',

Va,b Є N0:a + b'= (a + b)'.

Число а + b називається сумою чисел а і Ь, а самі числа a i b - доданками.

Операція додавання цілих невід’ємних чисел існує, причому єдина.

Для довільних цілих невід’ємних чисел а, Ь і с при додаванні мають місце властивості (закони):

а + 0 = 0 + а = а властивість нуля при додаванні;

а+1 = 1+ а = а' властивість одиниці при додаванні;

(а + в) + с = а + (в + с) асоціативний закон додавання;

а + в = в + а комутативний закон додавання;

а = в-»а + с = в + с закон монотонності додавання відносно відношення рівності.

Початкове ознайомлення з дією додавання відбувається перед вивченням чисел 6-10, а з дією віднімання – після вивчення числа 10. Такий розрив створено для того, щоб усунути зайві труднощі та полегшити дітям засвоєння відповідних термінів і символів.

Теоретичною основою дії додавання – об’єднання двох скінчених множин, які не мають спільних елементів та знаходження чисельності утвореної множини, якщо відомо чисельність двох перших множин. Наприклад: було 3 білих зірочки і 2 жовтих. Скільки всього зірочок?

В математиці можна записати це прикладом: 3+2 =5.

Способи читання прикладу:

1. До трьох додати два буде п’ять (до числа три додати число два дорівнює п’ять) – за назвою дії.

2. Три плюс два дорівнює п’ять – за назвою знака.

3. Перший доданок - три, другий доданок - два, сума - п’ять – за назвою компонентів дії.

4. Сума чисел три і два дорівнює п’ять – за назвою виразу.

5. Три збільшити на два дорівнює п’ять – за зміною кількості.

Через декілька уроків ознайомлення із дією віднімання. Підготовча робота є аналогічною до додавання.

Теоретичною основою дії віднімання є знаходження потужності різниці двох множин , якщо друга є підмножиною першої.

При ознайомлення з дією віднімання використовують різнорідні множини.

6- 4 = 2 6 - 2 = 4

Однорідні множини

7 – 3 = 4

6- 4 = 2

Способи читання

1. Від шести відняти чотири дорівнює два - за назвою дії.

2. Шість мінус чотири дорівнює два – за назвою знака.

3. Зменшуване - шість, від’ємник - чотири, різниця - два - за назвою компонентів дії.

4. Різниця чисел шість і чотири дорівнює два – за назвою виразу.

5. Шість зменшити на чотири дорівнює два – за зміною кількості.

Формування уявлень про дії додавання та віднімання відбуваються при розгляді таких вправ: 1)розгляд та вивчення напам’ять випадків додавання, пов’язаних з утворенням чисел, наприклад: 5+1, 6+1 тощо; 2) на розкладання чисел на суму двох доданків та на читання прикладів, наприклад: п’ять дорівнює 3 плюс 2, п’ять – це 3 і 2, п’ять складається з 3 і 2 ; 3) на читання прикладів різними відомими на даний час способами; 4) на списування, обчислення та читання прикладів з дошки чи підручника.

Існує взаємозв’язок між дією додавання і віднімання.

Покажемо це на прикладі розгляду такого малюнка (див. малюнок 1).

Малюнок 1.

Запропонувавши дітям розглянути малюнок, запитуємо їх: що зображено на малюнку? – квадрати. Які квадрати зображено на малюнку? – білі і чорні. Скільки білих квадратів? – 7. Скільки чорних ? – 2. Скільки всього квадратів? – 9. Якою дією можна знайти їхню кількість? – додавання. Який приклад можна скласти за цим малюнком? – 7+2=9. Прочитайте його різними способами. Чому дорівнює перший доданок? Другий доданок? Сума? Яку дію ми виконаємо, якщо заберемо білі квадрати? – віднімання. Складіть відповідний приклад: 9-7=2. Що позначало у першому прикладі число 9? – суму. Число 7? – перший доданок. Як знайти другий доданок суми? – від суми відняти перший доданок. Отже, якщо від суми відняти один доданок, то одержимо другий доданок. Аналогічна робота проводиться з випадком 9-2=7, а потім вчитель запитує: скільки прикладів на додавання ми мали? – один. Скільки прикладів на віднімання можна скласти з прикладу на додавання? – два. Як знайти перший доданок? Другий доданок? Після цього вчитель, підсумовуючи проведену роботу, формулює загальний висновок: з одного прикладу на додавання можна скласти два приклади на віднімання, якщо від суми відняти один з доданків, то одержимо інший доданок. Відповідно до усвідомлення учнями цього висновку та відповідно до їхніх індивідуальних особливостей поступово переходимо до розв'язування таких завдань без використання наочності.

7+2=9

9-7=2

9-2=7

Поиск по сайту: