АКСІОМАТИЧНИЙ ПІДХІД ДО ПОБУДОВИ МНОЖИНИ ЦІЛИХ НЕВІД'ЄМНИХ ЧИСЕЛ (АКСІОМАТИЧНА ТЕОРІЯ)

Поняття про аксіоматичний метод побудови теорії

Відміною математики від інших наук є логічне доведення іс­тинності тверджень на основі інших, раніше доведених. Оскільки різних тверджень є скінченна кількість, то всі твердження не мо­жуть бути доведеними, а тому деякі твердження приймаються у математиці істинними без доведення.

Твердження, які приймаються в межах певної теорії істинни­ми без доведення, називаються аксіомами.

Будь-яка теорія є сукупністю понять і тверджень про них.

Аксіоматичний метод побудови теорії полягає в тому, що:

1) виділяються неозначувані (первинні) поняття теорії, усі інші поняття цієї теорії означаються через раніше означені, зреш­тою - через первинні поняття; 2) виділяються деякі вихідні твердження - аксіоми, які при­ймаються істинними у теорії без доведення, усі інші твердження цієї теорії, які називають її теоремами, доводяться на основі ра­ніше доведених, зрештою - на основі аксіом. Аксіоми теорії є не­явними означеннями її первинних понять.

Аксіоматичний метод, що зародився у працях давньогрець­ких філософів і математиків, пройшов довгий шлях розвитку, у процесі якого зазнали докорінних змін такі поняття як "аксіома", "теорема", "доведення". Зокрема, поняття "аксіома" розглядалося спочатку як твердження, що не потребує доведення, і лише з по­будовою М. І. Лобачевським (1792-1856) неевклідової геометрії, в основу якої покладена система аксіом, відмінна від системи ак­сіом Евкліда, аксіоми стали розглядати як твердження, які при­ймаються істинними без доведення в межах певної теорії. Аксіо­матична побудова теорії можлива лише тоді, коли відомо багато понять і тверджень про них у цій теорії.

Та сама теорія може бути побудована на основі різних пер­винних понять і систем аксіом.

Система аксіом, на основі якої будується теорія, має задоволь­няти певні умови (вимоги), найважливішою з яких є несуперечливість.

Система аксіом вважається несуперечливою, якщо серед її ло­гічних наслідків немає двох, які є запереченням один одного.

Для суперечливої аксіоматичної теорії не може бути знайде­на сукупність об’єктів, властивості яких і відношення між якими описувалися б у термінах цієї теорії.

Важливою також є вимога незалежності системи аксіом, яка полягає в тому, що жодна з аксіом не є логічним наслідком інших аксіом цієї системи.

Аксіоми Пеано

При аксіоматичній побудові множини цілих невід’ємних чи­сел не можна вважати відомими властивості цих чисел. Усі відо­мості, якими можна користуватися при міркуваннях, беруться з аксіом і наслідків із них. Крім того, не можна при такій побудові користуватися властивостями скінченних множин, якими б вони не були очевидними, що не знайшли відображення в аксіомах.

Первинними поняттями аксіоматичної теорії цілих невід’ємних чисел є: "ціле невід’ємне число", "нуль" і відношення між числами "безпосередньо йде за" ("наступне за" або "йде за").

Цілі невід’ємні числа позначаються малими латинськими бу­квами а, Ь, с, ..., число нуль - цифрою 0, ціле невід’ємне число, що йде безпосередньо за а, - а і а множина всіх цілих невід’ємних чисел - М).

Рівність а = в означає, що те саме ціле невід’ємне число по­значене двома різними буквами. Відношення рівності на множині цілих невід’ємних чисел є відношенням еквівалентності.

Нерівність а Ф в означає, що буквами а і в позначено різні цілі невід’ємні числа.

Аксіомами при аксіоматичній побудові множини цілих не­від'ємних чисел є:

Нуль є цілим невід’ємним числом, яке безпосередньо не йде за жодним цілим невід’ємним числом:

\/аЄ М₀ :а'*0.

8. Для кожного цілого невід’ємного числа існує одне і тільки одне ціле невід’ємне число, яке безпосередньо йде за ним:

\/а,в Є N₀ :а = Ь —»а = в\

9. Кожне ціле невід’ємне число безпосередньо йде не більш як за одним цілим невід’ємним числом:

Vа,вЄ : а = в' —» а = в.

10. (Аксіома індукції). Нехай М - довільна підмножина мно­жини цілих невід’ємних чисел, яка має властивості:

Кожне ціле невід’ємне число відмінне від числа, що безпосередньо йде за ним.

Поиск по сайту: