Виникнення понять натурального числа і нуля

Теоретико-множинне трактування натурального числа і нуля.

Зміст аксіоматичної теорії про побудову чисел натурального ряду. Місце у початковому курсі математики.

Натуральне число як міра величини. Місце у початковому курсі математики.

Теоретико-множинне трактування натурального числа і нуля.

Із курсу математики відомо, що існує 3 теорії цілих невід’ємних чисел:

1.Теоретико-множинна(кількісна).В якій число трактується як спільна властивість класу скінченних еквівалентних множин.

2. Аксіоматична або порядкова .В якій натуральне число визначають за допомогою системи аксіом та операції “слідувати за... ”.

3. Теорія ,яка розглядає натуральне числа як результат вимірювання величин.

В кожній із цих теорій розглядаються основні поняття:

“число”, “величина”, “відношення”, “множина”. Залежно від порядку їх слідування можна побудувати різні курси математики у початкових класах. У нині діючих підручниках Богдановича вибрано такий порядок слідування: “число”, “величина”, “відношення”, “множина”, тому в основу початкового курсу математики покладено теоретико - множинний підхід і поняття числа формується в результаті розгляду операцій над скінченними предметними множинами(кількісна теорія). Це означає, що явно розглядається поняття числа і величини, а поняття відношення і множина розглядається неявно. Курс математики при такому підході не може обійтися без порядкової теорії і розгляду числа як міри величини. Саме тому діти ознайомлюються із порядковим номером числа і одержують число в результаті вимірювання величин.

Виникнення понять натурального числа і нуля

З давніх-давен людина мала справу з багатьма різноманітними множинами. До­сить довго вона не мала чіткого уявлення про їхню чисельність. Елементи кожної конкретної множини розпізнавалися за їхніми певними якісними ознаками: формою, розміром, кольором тощо. Ці ознаки допомагали також людині судити про чисель­ність множин, звичайно тільки наближено. З часом для порівняння чисельності двох множин стали встановлювати відповідність між їхніми елементами. Потім було по­мічено, що для утворення уявлення про чисельність множин краще порівнювати їх з однією і тією самою множиною (множиною пальців, камінців, вузликів тощо). При цьому про чисельність групи з п’яти предметів говорили, що їх стільки, скільки паль­ців на одній руці. На цьому етапі розвитку людини число ще не відокремилося від використовуваної множини, але таке порівняння множин поступово вело до поняття натурального числа. Минуло багато тисячоліть, перш ніж людина усвідомила, що п’ять пальців, п’ять камінців і п’ять вузликів мають ту загальну властивість, яка виражається словом «п’ять». Після відокремлення поняття про натуральне число від своєї матеріальної основи воно стало існувати як самостійна сутність, що виражає ту загальну властивість, яку має клас еквівалентних множин. Такпоступово люди, говорячи «один», «два», «три», навчилися лічити предмети, кажучи «перший», «другий», «третій», навчилися впорядковувати їх. Це був вирішальний етап у розвитку поняття натурального числа. Згодом люди навчилися не тільки називати числа, а й позначати їх символічно. Практика роботи школи показує, що у формуванні числових уявлень необхідні такі операції: лічба, споглядання в просторі і часі, встановлення взаємно однозначної відповідності. Більше того, для правильного формування поняття числа у різних дітей більшу роль відіграють різні операції.

Про виникнення лічби і зумовлених нею понять можна зробити висновок на основі таких джерел:

1. Дослідження відсталих у культурному розвитку народів, що проводились у ХУІІ-ХХ століттях.

2. Вивчення історичних пам’яток: художніх виробів, наскельних малюнків, написів на руїнах старих будівель тощо.

3. Вивчення родових переказів, казок, прислів’їв, приказок, а особливо мов, які зберігають багато слідів тих часів, коли люди ще не вміли писати.

4. Спостереження за дітьми, коли вони навчаються говорити і лічити. Кожна дитина, розвиваючись, повторює розвиток усього людства. Звичайно, цей процес відбувається дуже швидко: шлях розвитку, на який попереднім поколінням потрібні були століття або навіть тисячоліття, дитина проходить за роки або навіть місяці.

Порівнюючи відомості, узяті з цих чотирьох джерел, можна приблизно відтворити картину того, як люди опановували лічбу як виникло поняття натурального числа, що тісно пов'язане з понят­тям скінченної множини. У процесі практичної діяльності людині часто доводиться порівнювати між собою скінченні множини.

Наприклад, для одержання відповіді на запитання, чи вистачить спійманих рибин на всіх членів сім’ї, можна встановити взаємно однозначну відповідність між елементами множин спійманих рибин і членів сім’ї або між елементами однієї з них і елементами власної підмножини іншої.

Якщо виконується перший випадок, то вважають, що чисель­ності множин однакові, якщо - другий, то та з множин має меншу чисельність, яка рівнопотужна власній підмножині іншої.

Цей спосіб порівняння чисельності множин не потребує пе­реліку їх елементів, але ним можна користуватися не завжди. Зо­крема, з його допомогою не можна дізнатися, у якому з двох та­бунів, що знаходяться на різних пасовищах, коней більше, або порівняти чисельність табуна коней у даний момент часу з його чисельністю минулого року. Тому для порівняння й фіксації чи­сельності множин стали використовувати множини-посередники, що складалися з пальців рук людини, камінців, раковин тощо і якими легко оперувати. Так, для порівняння двох табунів коней брали множину камінців, що дорівнювала чисельності одного з них, переносили її туди, де перебував інший табун, і порівнювали її з ним.

Ту саму множину-посередник можна було порівнювати і з множиною тварин у стаді, і з множиною мішків зібраного уро­жаю і т. д. Тому назви множин-посередників почали використо­вувати як вираження чисельності порівнюваних з ними множин. Наприклад, казали "рука яблук", тобто стільки яблук, скільки па­льців на руці. А для вираження кількості стріл, що дорівнює кіль­кості пальців людини, казали "людина стріл". Так виникло понят­тя числівника як назва множини-посередника. Процес абстрагу­вання зумовив виникнення загального поняття натуральних чисел "один", "два", "три", "чотири", "п’ять" і т. д. Оскільки найчастіше лічба велася за допомогою пальців, то такі множини-посередники, як 1, 5, 10, 20, 100 (десять десятків) відігравали особливу роль, інші одержувалися з них шляхом додавання або віднімання (казани, наприклад, "двадцять без двох" замість "вісімнадцять"). Отже, спочатку натуральні числа з’явилися у вигляді чисел-острівців, які потім злилися в єдиний материк - множину натуральних чи­сел. Пізніше стали розміщувати натуральні числа у ряд, в якому

кожне наступне число одержується з попереднього додаванням до нього одиниці. Так виникло поняття натурального ряду чисел:

1, 2, 3, п, ... .

Скінченні множини

Натуральне число виникло внаслідок оперування зі скінчен­ними множинами і може бути означене через поняття "скінченна множина". У зв’язку із цим, раніше сформульованим означенням скінченної множини, елементи якої можна перелічити, користу­ватися не можна. Отже, потрібно дати означення скінченної мно­жини, не використовуючи поняття натурального числа.

Множина називається:

1. Скінченною, якщо вона не має власної підмножини, рівно- потужної їй;

2. Нескінченною, якщо вона має власну підмножину, рівнопотужну їй.

Означення скінченної множини можна сформулювати і так: множина називається скінченною, якщо вона збігається з будь- якою своєю підмножиною, що рівнопотужна їй.

Порожня і' одинична множини є скінченними, тому що вони зовсім не мають власних підмножин.

На основі теорії множин і наведеного означення скінченної множини можна довести, хоч це не завжди й просто, ряд власти­востей скінченних множин, які потрібні для побудови кількісної теорії цілих невід’ємних чисел.

1. Множина, рівнопотужна скінченній множині, скінченна.

2.Довільна підмножина скінченної множини є множиною скінченною.

3.Об’єднання скінченної множини і одиничної множини є множиною скінченною.

4.Кожна скінченна непорожня множина, відмінна від одини­чної, є об’єднанням скінченної множини попарно різних одинич­них множин.

Наведемо без доведення такі три властивості.

5. Об’єднання довільних скінченних множин А і В є множи­ною скінченною.

6. Об’єднання довільної скінченної сукупності скінченних множин є множиною скінченною.

7. Для довільних скінченних множин А і В має місце одне і тільки одне з відношень:

А ~ В,

А ~ В_1, В₁ с В і В = В,

В ~ А1, А1 с А і А1 = А.

Об’єднання множин АÈВ.

Перетин множин

Натуральним числом називається клас рівнопотужних скін­ченних непорожніх множин.

Як відомо, клас рівнопотужних скінченних непорожніх мно­жин називається потужністю множини, яка йому належить, а тому натуральне число може бути означене й так: натуральним числом називається потужність скінченної непорожньої множи­ни.

На інтуїтивному рівні натуральне число - це спільна власти­вість рівнопотужних скінченних непорожніх множин, яка не за­лежить ні від природи елементів цих множин, ні від порядку еле­ментів у них. Ця властивість є нічим іншим, як чисельністю або кількістю елементів скінченної непорожньої множини. Натуральні числа, які є потужностями скінченних непорожніх множин А, В, С, ..., позначаються буквами а, в, с, ... , і це запису­ється а = |А|, в = |В|, с = |С|, ...; читається, наприклад, а = |А|:

"число а є потужністю множини А".

Потужність одиничної множини називається одиницею і по­значається 1. Отже, 1 := |Е|, де Е - одинична множина.

Усі натуральні числа становлять множину натуральних чи­сел, її позначають N.

Потужність порожньої множини називається нулем і позна­чається 0. Отже, 0 := |О|.

Множина, елементами якої є всі натуральні числа і число нуль, називається множиною цілих невід ’ємних чисел і позначається N0, а її елементи - цілими невід'ємними числами. Отже,

Nо : = N {0}

На основі означення натурального числа і числа нуль, озна­чення цілого невід’ємного числа можна сформулювати так: цілим невід'ємним числом називається потужність скінченної множини.

Цілі невід’ємні числа а і в називаються рівними (записується а = в), якщо множини, для яких ці числа є потужностями, рівнопотужні, і нерівними (записується аФв), якщо відповідні їм множини нерівнопотужні.

Відношення рівності на множині цілих невід'єм­них чисел є відношенням еквівалентності.

Кожному класу рівнопотужних скінченних множин ставиться у відповідність єдине ціле число, яке є потужністю будь-якої множини цього класу, при цьому різним класам ставляться у від­повідність різні числа. Але й кожному цілому невід’ємному числу ставиться у відповідність єдиний клас рівнопотужних скінченних множин, для представників якого воно є потужністю. Цим самим встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною різних класів рівнопотужних скінченних множин і множиною ці­лих невід'ємних чисел.

Кожній скінченній множині ставиться у відповідність єдине ціле невід’ємне число, яке є її потужністю, але кожному цілому невід’ємному числу, за винятком нуля, можна поставити у відпо­відність не одну скінченну множину, тому що клас рівнопотуж­них скінченних множин містить безліч множин. У зв’язку з цим, при встановленні тверджень про властивості цілих невід’ємних чисел, які ґрунтуються на властивостях множин, потрібно дово­дити, що їх суть не залежить від вибору множин-представників, для яких цілі невід’ємні числа є потужностями. Це дає можливість оперувати у міркуваннях про числа множинами довільної природи.

Можна показати, що відношення рівності і нерівності на множині цілих невід’ємних чисел не залежать від вибору множин- представників.

У шкільному курсі математики поняття натурального числа розглядається як спільна властивість класу скінченних рівнопотужних непорожніх множин, а нуль - як потужність порожньої множини (зазвичай без теоретико-множинної термінології). Коли учні вивчають число "один", для прикладу на сторінках підручника даються зображення одного яблука, одного хлопчика тощо; коли вивчають число "два", даються зображення різних сукупностей, які містять два елементи: два круги, два кубики і т. д. Це повторюється при вивченні всіх чисел першого десятка, і кількість елементів у сукупностях встановлюється за допомогою лічби.

Упорядкованість множини цілих невід'ємних чисел

Для довільних цілих невід’ємних чисел а і в число а, які є по­тужністю множини А, називається меншим числа в, що є потужністю множини В (позначається а < в), якщо у множині В знайдеться від­мінна від неї підмножина В і, рівнопотужна множині А:

t bExPy07DMBC8I/EP1iJxozZUSUuIU5VKiDMtl9428ZJExOsQu234e5YT3GY0o3mUm9kP6kxT7ANb uF8YUMRNcD23Ft4PL3drUDEhOxwCk4VvirCprq9KLFy48Bud96lVEsKxQAtdSmOhdWw68hgXYSQW 7SNMHpPQqdVuwouE+0E/GJNrjz1LQ4cj7TpqPvcnb+Hw6s1cp35H/LUy2+NzlvMxs/b2Zt4+gUo0 pz8z/M6X6VDJpjqc2EU1WFhmq0exCpAHoi/zXHgtwKxBV6X+f6D6AQAA//8DAFBLAQItABQABgAI AAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsB Ai0AFAAGAAgAAAAhAHoRuUfuAQAA5gMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAAUXpbLYAAAACAEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAASAQAAGRycy9kb3ducmV2 LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABNBQAAAAA= " strokecolor="black [3200]" strokeweight=".5pt"> \/ a,bє Nо: а < b:<=> Э В1 сВ: В_] =В ̂ А ~ В1, де а =|А|, b= \B\ .

Відношення "менше" на множині цілих невід'єм­них чисел не залежить від вибору множин-представників.

Відношення, обернене до відношення "менше" на множині цілих невід’ємних чисел, називається відношенням "більше». Відношення "менше" і "більше", як взаємно обернені, мають однакові властивості.

Відношення "менше або рівне" можна розглядати як об’єднання відношень "менше" і "рівне":

Відношення "більше або рівне” можна розглядати і як об’єднання відношень "більше" і "рівне", і як обе­рнене до відношення "менше або рівне":

На основі властивостей відношень "рівне" і "менше" та озна­чень відношень "більше", "менше або рівне" і "більше або рівне" одержуємо наслідок.

Відношення "менше або рівне" і "більше або рівне" на множині цілих невід’ємних чисел є відношеннями нестрогого лінійного порядку.

У шкільному курсі математики розглянутий підхід до озна­чення відношення "менше" на множині цілих невід’ємних чисел широко використовується при вивченні цілих невід’ємних чисел, особливо при вивченні чисел першого і другого десятків. Порів­няння чисел у період ознайомлення з числами від 1 до 5 здійсню­ється, головним чином, з опорою на наочність - порівняння двох сукупностей предметів. Наприклад, при введенні запису 3 < 4 проводяться такі міркування: візьмемо 3 голубі й 4 жовті кружечки і кожний голубий накладемо на жовтий; бачимо, що один жовтий кружечок залишається ненакритим, отже, голубих кружечків менше, ніж жовтих, тому можна записати 3 < 4. Відзначимо, що коли а і Ь є відповідно потужностями множин А і В (кружків, квадратів, па­личок тощо) і а < Ь, то виділення у множині В підмножини, рівнопотужної множині А, на практиці проводиться найрізноманіт­нішими способами: накладанням, прикладанням, утворенням пар тощо.

Для чисел же, більших 5; порівняння здійснюється на основі лічби: з двох натуральних чисел меншим є те, яке раніше зустрі­чається при лічбі.

Поиск по сайту: