Когда применяется предельный признак сравнения?

Ряды

Числовые ряды

В общем виде положительный числовой ряд можно записать так: .
Здесь:
– математический значок суммы;
– общий член ряда (запомните этот простой термин);
– переменная «счётчик».

Исследование ряда на сходимость:

1) Ряд расходится. Это значит, что бесконечная сумма равна бесконечности: .

2) Ряд сходится. Это значит, что бесконечная сумма равна некоторому конечному числу : .

Существует несколько признаков сходимости ряда:

1) необходимый признак сходимости ряда;

Если общий член рядане стремится к нулю, то ряд расходится

Или короче: Если , то ряд расходится.

Докажем, что ряд из первого примера расходится.
Общий член ряда:

Вывод: ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Ряды следующего типа: или или или когда в числителе и знаменателе находятся многочлены, и старшая степень числителя больше либо равна старшей степени знаменателя.

Данный ряд называется гармоническим рядом.

Легко заметить, что , НО. В теории математического анализа доказано, что гармонический ряд расходится.

Также следует запомнить понятие обобщенного гармонического ряда:

a) Данный ряд расходится при .

b) Данный ряд сходится при .

2) признаки сравнения;

Существуют два признака сравнения:

a) признак сравнения

Признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если известно, что ряд – сходится, и выполнено неравенство (для ), то ряд тоже сходится.

Иными словами: Из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами.

Исследовать ряд на сходимость

Сравним исследуемый ряд со сходящимся рядом . Используем признак сравнения. Для рассматриваемых рядов выполнено неравенство , значит, по признаку сравнения исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

b) предельный признак сравнения

Предельный признак сравнения:Рассмотрим два положительных числовых ряда и . Если предел отношения общих членов этого ряда равен конечному, отличному от нуля числу : , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Важные примечания:

1) Если речь идёт о двух сходящихся рядах, то предел может быть равен и нулю (но не бесконечности).

2) Если речь идёт о двух расходящихся рядах, то предел может быть равен и бесконечности (но не нулю).

Когда применяется предельный признак сравнения?

1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.

Исследовать ряд на сходимость

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения. Известно, что ряд – сходится. Если нам удастся показать, что равен конечному, отличному от нуля числу, то будет доказано, что ряд – тоже сходится.

Получено конечное, отличное от нуля число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .

3) признак Даламбера;

Поиск по сайту: