2. Для другого участка с косым изгибом (а если такого нет, то для первого участка) подобрать прямоугольное сечение бруса с заданным отношением сторон h/b = 2. Сечение расположить так, чтобы больший изгибающий момент воспринимался большим моментом инерции сечения.
Рассмотрим III участок, здесь тоже косой изгиб. В опасном сечении его:
, , .
Подбор размеров ведем по условию прочности (2). Отношение зависит от ориентации сечения:
г) если
d)
Задано h/b = 2. Размеры h и b округлить до стандартных, кратных 0,5 см. На участке III , поэтому прямоугольное сечение расположим как в случае г). Здесь .
Из (2) найдем необходимый :
отсюда см3
Найдем необходимые размеры прямоугольника:
см, см.
Выберем стандартные размеры сечения (кратные 0,5 см):
1. hст= 6,5 см bст = 3 см (min)
2. hст= 7 см bст = 3,5 см (mах)
Проверим прочность сечения при min размерах по формуле (3):
А = hст× bст = 6,5×3 = 19,5 см2;
Условие прочности не выполняется. Проверим mах размеры:
А = hст× bст = 7×3,5 = 24,5 см2;
Недогрузка .
Окончательно для III участка выбираем прямоугольное сечение с размерами h = 7 см, b = 3,5 см.
3. Для одного участка, испытывающего изгиб с кручением, подобрать сплошное круглое сечение радиуса R, использовать четвертую теорию прочности, [s] = 16 кН/см2.
Изгиб с кручением испытывают II и IV участки. Рассмотрим один из них, например II участок.
В опасном сечении его:
, , , .
Условие прочности при изгибе с кручением для подбора размеров сечения имеет вид ( пока не учитывается):
(4)
Здесь - расчетный (приведенный) момент по i-ой теории прочности.
По IV теории прочности
(5)
- полный изгибающий момент в опасном сечении:
кН×см
кН×см
Из (4) найдем необходимый момент сопротивления круглого сечения:
см3
Для сплошного круглого сечения радиуса R
отсюда см
За стандартные размеры примем диаметры кратные 0,5 см, следовательно, радиусы R - кратные 0,25 см.
В нашем случае можно принять
R = 3,25 см (min) или R = 3,5 см (mах).
Проверим прочность сечения при R = 3,25 см с учетом (по IV теории прочности). Предварительно вычислим:
см2; см3
кН/см2
От кручения кН/см2
Четвертая теория прочности: .
.
Условие прочности при R = 3,25 см не выполняется.
Проверим R = 3,5 см (mах):
см2; см3
кН/см2 кН/см2
Четвертая теория прочности:
Недогрузка .
Окончательно выберем сечение с R = 3,25 см.
ПРИМЕР к части II
Исходные данные:
Рис.6
Рассмотрим стержень с поперечным сечением, показанным на рис.6. Сечение сложное, его надо разбить на прямоугольные части:
1 фигура а х d;
2 фигура с х d;
3 фигура 0,5а х d.
Размеры а, с, d надо определять через заданный размер «b» в табл.1.
Пусть получилось а = 24 см, с = 26,8см, d = 2,6 см.
Решение
1. Найдем центр тяжести сечения (т.С) и главные центральные моменты инерции и .
Сечение имеет одну ось симметрии «Y» - она является главной осью, вторая главная ось Х перпендикулярна первой и проходит через т.С.
Введем произвольные оси и (рис.6) с учетом симметрии фигуры. Положение т.С можно определить так:
13,19 см, где:
- суммарная площадь сечения;
- статический момент сечения относительно оси .
Примечание: если сечение включает прямоугольное отверстие, то при суммировании эта площадь и статический момент считаются отрицательными.
см2; см2;
см2; А = 62,4+69,68+31,2 = 163,28 см.
- координаты центров тяжести каждого прямоугольника вдоль оси :
1,3 см; см;
см
=2153,84 см3
Определив находим положение т.С и проводим главные центральные оси ХСY.
Для вычисления моментов инерции используем формулу изменения моментов инерции при параллельном переносе осей (верхний индекс в скобках при J определяет номер фигуры, а нижний определяет ось):
отсюда
см4
см4
см4
см4
Jx = 23165,8 см4
Все оси и совпадают (ввиду симметрии сечения), поэтому
3408,9 см4
см4; см4;
см4
Найдем радиус инерции сечения:
11,91 см; 4,57 см
Вычислим координаты точки Р приложения сжимающей силы F в главных центральных осях (см.рис.7):
6 см; 16,21 см
Определим положение нейтральной оси (Н.О) сечения. Для этого вычислим отрезки и , которые Н.О отсекает на осях координат:
см; см
Рисуем сечение стержня в масштабе и, откладывая на этом чертеже отрезки и с учетом знаков, найдем положение Н.О (рис.7).
Пронумеруем все угловые точки сечения т.1.¸12. Нейтральная ось делит сечение на две зоны: сжатую (где расположена т.Р, в которой действует сжимающая сила F) и растянутую. Из рис.7 видно, что в растянутой зоне максимально удаленной от Н.О будет т.6, в в сжатой зоне – т.12.
Если Н.О не пересекает сечение, то все сечение работает на сжатие (растянутой зоны нет).
Рис.7
В любой i-той точке сечения (с координатами ) при внецентренном нагружении нормальные напряжения можно найти по формуле:
. (6)
Условие прочности в т.6 (х6 = - 12 см, у6 = - = - 13,19 см).
. Отсюда найдем - допускаемую нагрузку из условия прочности в растянутой зоне сечения:
= - 123,70 кН.
Условие прочности в т.12 (х12 = 6 см, у12 = Yр + d = 16,21+2,6=18,81 см).
. Отсюда найдем - допускаемую нагрузку из условия прочности в сжатой зоне сечения:
= - 301,8 кН.
Из этих двух и за общую допускаемую нагрузку [F] необходимо принять min (по модулю)
Итак [F] = -123,7 кН.
Построим эпюру sz в сечении колонны.
Согласно (6) - линейно меняются по координатам точек xi и yi сечения. Поэтому эпюру sz можно построить по двум значениям от [F]:
1) в т.6 от [F] = = -123,7 кН = 3 кН/см2.
2) в т.12 от [F] = [F] (0,02982) = - 3,69 кН/см2
Строим эпюру sz. Из т.6 проводим перпендикуляр к Н.О, отрезок (6-m). В т.6 под углом 90° к (6-m) отложим = 3 кН/см2, получим точку n. Из т.12 проводим отрезок (12-m-L), параллельно Н.О. Отложим = - 3,69 кН/см2, равное отрезку (m-L).
Напряжения откладывать в масштабе, смена знаков на эпюре sz происходит в точке, где отрезок (L-n) пересекается с Н.О. Эпюра sz показана на рис.7.