Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Взаимодействие биологических систем

Математическая теория игр.

Как видим, главной особенностью живых организмов, как управляемых систем, заключается в том, что они могут устойчиво сохранять накопленный в них порядок, только постоянно увеличивая свою популяцию. А это значит, что они обязательно должны вступать в конфликт между собой или между различными популяциями. По сути дела, жизнедеятельность следует рассматривать как постоянный конфликт между различными формами упорядоченных систем.

В настоящее время в кибернетике активно разрабатывается математическая теория игр [18]. Смысл этой теории в том, чтобы понять, кто из двух (трёх, четырёх,...) конфликтующих сторон добьётся выигрыша (применительно к конфликту биологических систем – навяжет свой порядок).

Основными элементами теории игр являются:

Конфликтующие субъекты (игроки, соперники, партнёры) – управляемые системы, каждая из которых стремится навязать природе порядок, отличающийся от порядка соперников.

Природа (окружающая среда, шахматная доска с фигурами, колода карт, рынок и т.п.) – пассивный объект воздействия субъектов игры, меняющий свою конфигурацию (порядок) после каждого хода субъектов или независимо от них.

Ходы игроков и природы – единичные (простейшие) изменения природы под воздействием субъектов игры (личные ходы) или спонтанно в результате произвольного изменения самой природы (случайные ходы).

Правила игры – перечень всех возможных вариантов ходов, а также конечная конфигурация природы, определяемая как победа одной из конфликтующих сторон и поражение другой. В правила включается также процедура выполнения ходов партнёрами: поочерёдная, в зависимости от результатов предыдущего хода, от сложившейся конфигурации природы и т.п.

Ситуация (позиция, вариант) – конфигурация природы, сложившаяся спустя несколько личных и случайных ходов.

Выбор – конкретный ход, который выбирает один из конфликтующих субъектов из всего множества разрешённых для него ходов; исход – конкретный ход, осуществляемый природой.

Лучше всего понять основные количественные соотношения теории игр можно на примере игры[18], включающей в себя двух игроков и природу. Порядок выполнения ходов следующий: 1 игрок – природа – II игрок – природа – 1 игрок – природа... и. т. д. В этом случае игра делится на циклы, каждый из которых состоит из одного хода обоих игроков и двух ходов природы. После каждого - ого цикла у игрока 1 появляется возможность сделать n1J вариантов ходов, у игрока IIn2J вариантов. У природы число ходов в два раза больше, зато число возможных вариантов nn не меняется. Например, если в качестве природы выступает игральная кость, то число возможных вариантов всегда равно шести. В шахматах или шашках ходы природы вообще отсутствуют (число вариантов равно нулю).

Игра заканчивается тогда, когда у кого-то из игроков число возможных вариантов станет равно нулю (т.е. либо n1Jmax = 0, либо n2Jmax = 0). Эта ситуация воспринимается как победа противоположной стороны, лишившей данного игрока возможности к дальнейшим действиям (ходам).

Главным понятием игры является стратегия – последовательность выборов одного игрока в ответ на предшествующие ходы соперника и исходы природы от первого до последнего хода. Вариантов таких последовательностей в каждой игре, даже если она относительно проста, чрезвычайно много. Однако ясно, что одна часть множества стратегий приведёт первого игрока к победе, а второго к поражению, а другая – к противоположной ситуации.

Приведём простейший пример: игру в «крестики-нолики» – рисунки 5.2 и 5.3. Как известно, цель каждого игрока – разместить три принадлежащие ему фигуры – крестики игроком I и нолики игроком II – так, чтобы их можно было соединить прямой линией, т.е. либо занять ими три клетки горизонтальной линии, либо три вертикальной, либо три диагональной линии. Чтобы избежать ничьей, иногда к этому условию добавляют ещё одно – в случае, если ни одному из игроков не удаётся выстроить три свои фигуры по прямой линии, выигрывает тот, кто делает последний ход. В этом случае подразделяют «чистый» выигрыш (аналог нокаута в боксе) и выигрыш «по очкам». Нетрудно заключить, что «по очкам» всегда выигрывает (при отсутствии третьего партнёра – природы) игрок I. Это вынуждает игрока II выбирать наиболее агрессивную стратегию.

Ясно, что игрок I, начинающий игру, может сделать девять различных ходов. Игрок II может ответить 8 ходами, так как первая клетка уже занята. В следующий цикл у игрока I остаётся всего семь вариантов ходов. Далее у игрока II остаётся 6 ходов. В следующем цикле у игрока I есть 5 ходов, однако их число фактически меньше, так как при некоторой конфигурации крестиков и ноликов, поставленных в предшествующих циклах, этот игрок выигрывает, поставив три крестика по прямой линии.

На рисунке 5.2, а показаны некоторые варианты выигрыша игрока I на третьем ходу. На самом деле их больше. Другие варианты можно получить из изображённых на рисунке 5.2, а путём симметричного отображения относительно горизонтальной, двух диагональных или вертикальной средней линии. На рисунке возле каждого квадрата показано число симметричных вариантов, соответствующих изображенной на нём конфигурации крестиков и ноликов. Как видим, у игрока I всего 120стратегий, позволяющих выиграть на третьем ходу (из 9!/4!3!2!=1260 вариантов – множество из девяти клеток подразделяется на три подмножества – крестиков(3 клетки), ноликов (2 клетки) и пустых (4 клетки)).

Согласно §1.6 и [15 ] его статистический вес Р = 9!/4!3!2!. Нетрудно заключить, что 1140положений на квадрате позволяют игроку II продолжить игру. Третий ход игрока II приводит к 9!/3!3!3! – 120= 1560 вариантам. Часть из них означает его победу. На рисунке 5.2, б так же, как на рисунке 5.2, а, показаны базовые варианты победы игрока II на третьем ходу. Возле каждого квадрата по-прежнему изображаем число симметричных конфигураций, соответствующих представленной на рисунке. Как видим, у игрока II на третьем ходу 140 вариантов выигрыша. Оставшиеся 1560 – 140 = 1420 конфигураций позволяют игроку I продолжить игру, делая четвёртый ход. На рисунке 5.2, в даны базовые конфигурации выигрыша этого игрока на этом ходу и число соответствующих каждой из них симметрий. Как видим, общее число выигранных игроком I на четвёртом ходу позиций равно 256, а оставшихся 9!/4!3!2! – 120 – 140 – 256 = 744. Эти оставшиеся позиции позволяют игроку II сделать четвёртый, последний ход,96 вариантов которого приносят ему выигрыш – см. рисунок 5.2, г.

У игрока I остаётся ещё 9!/4!4! – 96 –256 – 140 – 120 = 18 позиций, чтобы закончить игру и выиграть партию. (На самом деле у игрока I остаётся всего 9 ходов, так как каждым двум разным позициям соответствует одна свободная клетка). Таким образом, у игрока I всего 120 + 256 + 9 = 385 выигрышных стратегий, а у игрока II 140 + 96 = 236 стратегий, т.е. в 1,63 раза меньше.

Следует отметить, что все проведённые расчёты исходят из того, что каждый из игроков делает случайные ходы и не «задумывается» об их последствиях – не просчитывает варианты вперёд. Тем не менее, даже в этом случае порядок на доске – в «природе» – увеличивается на

 


Рисунок 5.2.Варианты выигрыша на третьем ходу игры в крестики – нолики

 

DI = log2(385+236) = 9.28 бит,

где величина, стоящая под знаком логарифма – количество всех возможных вариантов до начала игры. Ясно, что стремление «выиграть» ведёт к увеличению степени интеллектуальности игрока, которая определяется способностью выбрать оптимальную стратегию, т.е. как можно лучше просчитать варианты развития событий.

Проанализируем, как можно выбрать оптимальную стратегию игры для игроков I и II. Во-первых, простой анализ показывает, что у игрока I не 9, а только три независимых друг от друга варианта первого хода – рисунок 5.3, а, так как остальные шесть ходов – зеркальные отображения одного из приведённых

Во-вторых, приведённые на рисунке 5.3, а варианты не эквивалентны друг другу: первый (крестик в центре доски) ведёт к четырём выигрышным стратегиям (на рисунке они обозначены стрелками, соединяющими клетки, занятие которых крестиками соответствует «чистой» победе); второй – к двум, третий – к трём. Ясно, что игроку I разумнее всего расположить крестик в центре доски. В ответ на этот ход у игрока II всего два варианта независимых хода – рисунок 5.3, б. Первый обеспечивает две победные стратегии – см. рисунок 5.3, б, а второй – только одну. Ясно, что оптимален для игрока II первый вариант.

 


Рисунок 5.3

Оптимизация игры в «крестики-нолики»

И действительно, он, в конечном счёте, приводит к победе игрока I «по очкам» - рисунок 5.3, г-м, в то время как второй вариант – к «чистой» победе – рисунок 5., н-у. Стратегии игры можно изобразить графом – рисунок 5.3, в (см. ниже).

Основываясь на этом примере, изложим общие положения теории игр. Множество стратегий игрока I обозначим Х, а игрока IIY, а их конкретные стратегии – х, у. Кроме этих стратегий существует стратегия случайных ходов природы h. Например, в указанной игре можно добавить ещё одно условие: после поочередного хода обоих игроков подбрасывается монета, и если она выпадает цифрой, то игрок II дополнительно ставит по своему усмотрению крестик (т.е. как бы подыгрывает игроку I). Если монета падает вверх гербом, то, наоборот, игрок I ставит нолик.

Совокупность стратегий h образует третье множество Н. Конкретная партия g представляет совокупность стратегий

g = g{x, y, h}.

Результат этой партии можно обозначить числом L, равным 1, если выигрывает игрок I, или 0, если выигрывает игрок II. Ясно, что L есть функция стратегий x, y, h:

L = L (x, y, h).

Она называется [15] функцией потерь. Учитывая, что стратегия h – случайная, можно определить её вероятность р(h). Например, при подбрасывании монеты р(h) = 0.5.

Тогда можно определить среднее значение потерь:

L(x,y)= ΣL(x,y,h)p(h);h Î H.(5.2)

В этом случае L(x,y) принимает любые значения от 0 до 1. Таким образом, математически игра G определяется тройкой множеств

G = {X, Y, L}, (5.3)

где Х, Y – некоторые множества, а L – числовая функция, определённая на произведении Х´Y. Элементы множеств хiÎ X, yjÎ Y называются стратегиями игроков I и II, а функция L – функцией потерь. Числа m и n определяют число стратегий первого и второго игроков.

Цель игры для первого игрока – максимизировать L, а второго – её минимизировать. Всего значений Lm´n и они образуют матрицу:

. (5.4)

 

Особую роль играют так называемые статистические игры. Они отличаются от предыдущих – стратегических игр – тем, что в них всего один игрок и природа. Игрок в статистических играх именуется статистиком. Ясно, что в этих играх функция потерь зависит от всевозможных состояний природы h и стратегий статистика х:

L = L (x, h). (5.5)

Для того чтобы представить себе взаимодействие стратегий в процессе игры, обычно прибегают к древовидному графу. На рисунке 5.3, в построен граф игры в крестики-нолики, описанной выше без «статистического» игрока.

Как видим, игры, независимо от того, где они происходят, носят очевидный антиэнтропийный характер: победу в них в подавляющем большинстве случаев одерживает тот партнёр, у которого степень упорядоченности (точнее степень устойчивости упорядоченности) выше. Результаты игры приводят к повышению меры упорядоченности в природе (следует не забывать, что под «природой» в теории игр понимается статистический партнёр, т.е. партнёр, действия которого носят случайный, сумбурный характер).

Напомним, что конфликтные ситуации («игры») возникли на Земле в результате появления биологических систем.




©2015 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.