Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Билет № 16 Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы. Метод Гаусса



Решение СЛАУ методом Гаусса.

Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:

а11x1+a12+…+a1nxn=b1

а21x1+a22+…+a2nxn=b2 (1)

………………………

an1x1+an2+…+annxn=bn

Или матричной форме А* а = b (2)

A=( a,i,j), i,j=1,…,n; x = ; b =

Будем считать, что матрицы системы 1 будут невырожденной. Суть метода Гаусса состоит в преобразовании системы 1 к равносильной ей системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно получаются значения всех неизвестных. Метод Гаусса относится к точным методам, как и метод Крамера/

Подвергнем систему 1 следующим преобразованиям, считая, что а11 не равно 0 разделим на а11 коэффициенты первого уравнения, получим:

x1+ а12/ а11* x2+…+ а1n/ а11* xn= b1n/ а11, преобразуем:

x1+ ά12* x2+…+ ά1n * xn= ß1 (3)

Пользуясь уравнением 3 легко исключить неизвестные x1 из остальных уравнений системы. Для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение 3 умноженное на соответствующий коэффициент при x1. Затем оставим первое уравнение в покое, над остальными совершаем аналогичные преобразования. Выбираем из их числа уравнение с ведущим элементом (элемент на главной диагонали) и исключаем с его помощью из остальных уравнений неизвестное x2, повторяя этот процесс вместо системы x1 получим равносильную ей систему с треугольной матрицей

x1+ ά12* x2+…+ ά1n * xn= ß1 (4)

x2+ ά22* x2+…+ ά2n * xn= ß2

……………………………..

xn+ άn2* x2+…+ άnn * xn= ßn

Из системы 4 находятся значения неизвестных.

xn, xn-1, …, x2, x1

Таким образом, процесс решения системы 1 по методу Гаусса разбивается на 2 этапа:

1. Последовательное исключение неизвестных называется прямым ходом

2. Нахождение значений неизвестных называется обратным ходом.

При выполнения прямого хода используют следующие преобразования:

1) Умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число.

2) Сложение и вычитание уравнений.

3) Перетасовка уравнений системы.

4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных равны нулю.

Билет№17 Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы. Метод Крамера

Пусть дана системаA*x = b ;A = (aij) x = ; b =

i,j = 1, …, n

Метод Крамераприменим только в том случае, когда detA≠ 0

Вычисляется detA – главный определитель

∆xi – определители которые получаются заменой соответствующих столбцов в главном определители на столбец свободных членов

– Определитель системы

 

, ……….

 

 

Короче формулы Крамера можно записать в виде:

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.