Пусть дана система n линейных уравнений с n переменными:
а11x1+a12+…+a1nxn=b1
а21x1+a22+…+a2nxn=b2 (1)
………………………
an1x1+an2+…+annxn=bn
Или матричной форме А* а = b (2)
A=( a,i,j), i,j=1,…,n; x = ; b =
Будем считать, что матрицы системы 1 будут невырожденной. Суть метода Гаусса состоит в преобразовании системы 1 к равносильной ей системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно получаются значения всех неизвестных. Метод Гаусса относится к точным методам, как и метод Крамера/
Подвергнем систему 1 следующим преобразованиям, считая, что а11 не равно 0 разделим на а11 коэффициенты первого уравнения, получим:
Пользуясь уравнением 3 легко исключить неизвестные x1 из остальных уравнений системы. Для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение 3 умноженное на соответствующий коэффициент при x1. Затем оставим первое уравнение в покое, над остальными совершаем аналогичные преобразования. Выбираем из их числа уравнение с ведущим элементом (элемент на главной диагонали) и исключаем с его помощью из остальных уравнений неизвестное x2, повторяя этот процесс вместо системы x1 получим равносильную ей систему с треугольной матрицей
x1+ ά12* x2+…+ ά1n * xn= ß1 (4)
x2+ ά22* x2+…+ ά2n * xn= ß2
……………………………..
xn+ άn2* x2+…+ άnn * xn= ßn
Из системы 4 находятся значения неизвестных.
xn, xn-1, …, x2, x1
Таким образом, процесс решения системы 1 по методу Гаусса разбивается на 2 этапа:
1. Последовательное исключение неизвестных называется прямым ходом
2. Нахождение значений неизвестных называется обратным ходом.
При выполнения прямого хода используют следующие преобразования:
1) Умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число.
2) Сложение и вычитание уравнений.
3) Перетасовка уравнений системы.
4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных равны нулю.
Билет№17 Решение систем линейных алгебраических уравнений. Прямые методы. Метод Крамера
Пусть дана системаA*x = b ;A = (aij) x = ; b =
i,j = 1, …, n
Метод Крамераприменим только в том случае, когда detA≠ 0
Вычисляется detA – главный определитель
∆xi – определители которые получаются заменой соответствующих столбцов в главном определители на столбец свободных членов