writeln (¢введите a, b, e, m); readln (a, b, e, m);
if f(a)*f2(a)>0 then x0:=a
else x0:=b;
x:=x0;
y:=x-f(x)/f1(x)
d:=(abs(f(y))/m
while d>0 do begin
x:=y
y:=x-f(x)/f1(x)
d:=(abs(f(y))/m
end
writeln (¢корень=¢, у, ¢погр.=¢, D);
end.
Билет №12 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод простой итерации
Метод простой интерации
Пусть уравнение имеет единственный корень на отрезке [a,b]. Заменим уравнение F(x) = 0 равносильным уравнением x = f(x) (2)
Пусть ڈ (Кси) =корень уравнения (2), а х0 полученное каким либо способом грубое приближение к корню кси. Подставляя х0 в правую часть уравнения (2) получим некоторое число х1=f(х0). Проделаем тоже самое с x1 и получим х2 = f(х1) и т.д. Последовательно применяя рекуррентное соотношение xn=
Последовательность (3) называется последовательностью приближений или итерационной последовательностью. («итерация» - повторение).
Процесс построения итерационной последовательности имеет геометрическую интерпретацию.
Если последовательность 3 сходится, а функция f(x) непрерывна, то предел последовательности 3 является корнем уравнения 2.
Достаточные условия сходимости итерационного процесса выясняются следующей теоремой:
Теорема:
Пусть уравнение x=f(x) имеет единственный корень на отрезке [a;b] и выполнены условия:
1. f(x) определена и дифференцируема на этом отрезке
2. для всех x из отрезка [a;b] функция f(x) принадлежит [a;b]
3.существует такая правильная дробь q, что для всех x из отрезка [a;b] выполнено условие |f'(x)|<=q<1. Тогда итерационная последовательность xn = f(xn-1).N=1,2,…
Тогда итерационная последовательность сходится при любом начальном xnпринадлежащим[a;b].
Без доказательства
Замечание:
Условия теоремы не являются необходимыми, это означает, что итерационная последовательность (3) может оказаться сходящейся и при не выполнении этих условий.
Пусть уравнение x=f(x) решается методом простой итерации, причем результат должен быть получен с точностью e. Критическим для прекращения является условие Δxn≤e. (4)
Δxn= (5)
q- правильная дробь.
Замечание:
Важное свойство итерационных методов решения уравнений называется самоисправляемостью. Это означает, что если в процессе вычисления приближений допускались ошибки, то они не влияют на окончательный результат.