Билет №7 Алгоритм решения задачи методом хорд

Блок-схема метода хорд

+ -

x:=y y:=х – *F(x) D=

Билет №8 Программная реализация метода хорд

Program PR1;

function f(t; real): real;

begin

f:=sin(2*t);

End;

Begin

Function f₁ (t; real): real;

Begin

f₁:=2*cos(2*t);

End;

Function f₂ (t; real): real;

Begin

f₂:=-4*sin(2*t);

End;

Var a, b, e, m, x, y, x₀, d: real;

Begin

Writeln (¢введите¢ a, b, e, m);

Readln (a, b, e, m);

if F(a)*F”(a)>0 then begin

c:=a;

x₀=b;

end;

else begin

c:=b;

x₀:=a;

end;

x:=x₀;

y: = х – * F(x)

D= (abs(f(y))/m;

While d>e do begin x:=y

y:=(x-(x-c)/(F(x)-F(c)))*F(x)

d:=(abs(F(y))/m;

Writeln (¢корень =¢, у, ¢погр.=¢, d);

End.

Билет №9 Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной. Метод касательных

Методы Ньютона

Рассмотрим 2 метода Ньютона: метод касательных и метод хорд. Оба метода основаны на следующем приеме.

Пусть уравнение F(х)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b] (1)

Преобразуем его к равносильному уравнению х=х-j(х)*F(x) (2),

где j(х) – любая функция, определенная на отрезке [a, b] и не обращающаяся на нем в ноль.

Метод касательных

Пусть j(х)=1/F’(x) (3), тогда уравнение (2) примет вид:

x =х - - формула метода касательных

Итерационная последовательность х₀, х₁, х₂, …х_n строится с помощью рекуррентного соотношения

х_n=х_n-1 – (4)

Вопрос о выборе начального х₀ и гарантированной сходимости итерации решается просто, если F(x) удовлетворяет следующим условиям:

1. F(x) является дважды дифференцируемой на отрезке [a, b]

2. Обе производные не меняют знак на этом отрезке, т.е. F(x)монотонна и не имеет характера выпуклости.

В такой ситуации за х₀берется тот конец [a, b], на котором F(x) и ее вторая производная имеют одинаковые знаки, т.е. выполняется условие

F(x₀)*F¢(x₀)>0 (7)

Геометрическая интерпретация метода касательной (МК)

F”(x)>0

F”(x)<0

F (a) < 0, F (b) >0, F” >0

a ξ

x₂

x₁ b(x₀)

F (a) < 0, F (b) > 0, F”< 0

a(x₀) ξ b

F (a) > 0, F (b) < 0, F” > 0

ξ b

a

F (a) > 0, F (b) < 0, F” < 0

b

a ξ

Пусть уравнение х = х - решается методом касательной, причем результат должен быть получен с точностью e.Критерием для прекращения вычисления является условие D х_n≤ e (5),

Dх_n= (6)

где m = min |F¢(x)| [a, b] (6’)

F(x₀)*F”(x₀)>0 (7)

x₀ берется такая, что выполняется (7)

х=х₀- Dx₁= m по формуле (6)

Dx₁≤e ? +: х₁ и Dx₁

_¯: х₂=х₁ -

Dх₂=F(x₂)

Dх₂≤e?

Билет №10 Алгоритм решения задачи методом касательных

Блок-схема метода касательных

F(x₀)*F”(x₀)>0

+ -

	x:=y y:=х - D=

+ -

Поиск по сайту: