Представление действительных чисел десятичными дробями

Дроби, знаменатели которых являются разрядными единицами (10, 100, 1000 и т.д.), записывают без знаменателя, отделяя целую часть от дробной части запятой. Цифры дробной части называют десятичными знаками, они обозначают количество десятых, сотых и т.д. долей единицы. Позиционная запись числа, в которой целая часть отделяется от дробной части позиционной запятой, называется десятичной дробью.

Основываясь на принципе вложенных отрезков, можно доказать, что любое действительное число можно представить в виде десятичной дроби.

По свойству Архимеда для любого неотрицательного числа a найдётся такое целое число N, что . Разобьём числовой отрезок на 10 равных частей, тогда a либо совпадёт с одной из точек деления, либо не совпадёт ни с одной из точек деления. В первом случае, a можно записать в виде десятичной дроби N, n₁, где n₁– номер точки деления отрезка на 10 частей. Во втором случае, отрезок, на котором окажется точка a, обозначим его можно снова разбить на 10 частей. Если точка a совпадёт с одной из точек деления, то a можно записать в виде десятичной дроби N, n₁n₂, где n₂– номер точки деления отрезка на 10 частей. Если точка a не совпадёт ни с одной из точек деления, то отрезок, на котором окажется точка a, обозначим его , можно снова разбить на 10 частей и т.д. Таким образом, число а на k-м шаге либо совпадёт с точкой деления и будет представлено в виде конечной десятичной дроби , либо окажется на отрезке . Концы этого отрезка называются приближениями числа a по недостатку и избытку соответственно. При неограниченном увеличении k длина этого отрезка стремится к 0, а значения чисел на концах отрезка – к одному и тому же числу. Согласно принципу Кантора существует единственное число, принадлежащее всем вложенным отрезкам с длинами, стремящимися к 0, следовательно, число, к которому стремятся концы рассматриваемого отрезка – число a. Его можно записать в виде бесконечной десятичной дроби .

Если у бесконечной десятичной дроби, начиная с некоторого десятичного знака, повторяется знак или группа знаков, эту дробь называют периодической, а повторяющийся знак или группу знаков – периодом, записывая его в скобках.

Отметим, что дробям вида и соответствует одно и то же число. Например, и . В этом можно убедиться, используя один из способов перевода периодической дроби в обыкновенную дробь. Если рассматривать множество десятичных дробей, не имеющих периода, состоящего только из цифры 9 (такие дроби называют допустимыми), то между множеством всех действительных чисел и множеством всех допустимых десятичных дробей можно установить взаимно однозначное соответствие, в силу которого можно отождествлять число и его десятичное представление.

Рациональное число можно представить в виде десятичной дроби путём деления числителя на знаменатель. Результатом деления является либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая дробь.

При делении натурального числа m на натуральное число n в остатке могут получиться лишь следующие числа: 0, 1, 2, …, n–1. Если в процессе деления в остатке получилось число 0, то процесс деления будет закончен и, следовательно, рациональное число m/n будет представлено в виде конечной десятичной дроби. Если в процессе деления 0 в остатке не получился, то по крайней мере через n–1 шаг будет повторение остатка, с этого момента начнётся новый цикл. Результатом деления является допустимая бесконечная периодическая дробь.

Рациональное число m/n (m и n – целые, взаимно простые числа, n>1) может быть записано в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда число n не имеет никаких других простых делителей, кроме 2 и 5.

Так как любое действительное число может быть записано в виде десятичной дроби, а любое рациональное число – либо в виде конечной десятичной дроби, либо бесконечной периодической десятичной дроби, то любое иррациональное число может быть записано в виде бесконечной непериодической дроби. Иногда это свойство используют в качестве определения иррационального числа:

Иррациональным числом называют действительное число, десятичная запись которого является бесконечной непериодической десятичной дробью. Тогда, рассматривая приближения иррационального числа с недостатком и избытком, на основании определений суммы, произведения, разности и частного рациональных чисел, вводят определения суммы, произведения, разности и частного иррациональных чисел.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел: R = QÈI .

Между множествами чисел имеет место следующее соответствие: N Ì Z Ì Q Ì R.

Докажем их.

1) По определению – неотрицательное число, n-я степень которого равна ab, т.е =ab. Число неотрицательно, т.к. по определению и . Вычислим n-ю степень числа , используя свойства натуральной степени: = . Следовательно, , что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются свойства 2 – 5.

2) и ; и , значит, .

3) и ; и , значит, .

4) и ; и , значит, .

5) и ; , так как и , значит, .

6) Допустим противное: , тогда по свойству степеней с натуральным показателем , т.е , что противоречит условию , значит, предположение не верно.

Корень нечётной степени из отрицательного действительного числа находится следующим образом: . При a = 0 =0

Поиск по сайту: