Степень с рациональным показателем

Определение: Степенью с рациональным показателем (mÎZ, nÎN, n>1) положительного действительного числа a называется число , т.е. .

Степень числа 0 определена только для положительных показателей, по определению: для любого r > 0. 0⁰ и 0^–r не определены.

Рациональная степень отрицательного числа не определена из-за возможности представления рационального числа различными эквивалентными дробями, например,

–2 = = = – противоречие.

Свойства степени с рациональным показателем положительного действительного числа

1) ;

2) ;

3) ; следствие:

4) ;

5) ; 6) ;

7) если a > 0, то ;

8) если a >1 и r > 0, то ; если a >1 и r < 0, то 0< ;

9) если a >1 и r₁> r₂, то ; если 0 < a< 1 и r₁> r₂, то .

Докажем некоторые из них.

1) Запишем числа r₁ и r₂ в виде дробей с одинаковыми знаменателями: , , где k, m – целые числа, . Тогда: = . Заметим, что , отсюда следует свойство 6).

2) .

3) Запишем числа r₁ и r₂ в виде дробей с разными знаменателями: , , где l, m – целые числа, . .

7) Пусть , где , , тогда . Ранее было доказано, что . По определению корня n-ой степени .

8) Рассмотрим случай a > 1.

Пусть p > 0, тогда по свойству степени с целым показателем . По свойству корня n-й степени , следовательно, , т.е. .

Пусть p < 0, тогда . По свойству корня n-й степени , следовательно, .

Аналогично рассматривается случай 0 < a < 1.

9) Пусть a > 1 и r₁ > r₂. Рассмотрим разность = . На основании пункта 7) , на основании пункта 8), учитывая, что r₁ – r₂ > 0, >0, следовательно, >0, значит, >0, т.е. . Аналогично рассматривается случай 0 <a < 1.

Рассмотрим примеры вычисления значений числовых выражений, содержащих степени и корни

1. Применение свойств степеней и корней.

Пример 1. Вычислим значение выражения = = = = 3² = 9.

Пример 2. Вычислим значение выражения = = = = = = 4×6 = 24.

Пример 3. Вычислим значение выражения =

= = = = =Ä.

Т.к. , то , следовательно, Ä = .

2. Исключение иррациональности в знаменателе дроби

а) ; б) ;

в) = = ;

г) = = = = = .

3. Вычисление сложного радикала = = .

Пример 3. а) = = = .

б) = = = = = .

в) = = = = = = .

г) = = .

Тесты

Степень с целым показателем =1

Уровень1

1.Верно ли, что

а) ; б) ; в) г) ;

д) ; е) ?

2.Установите соответствие между выражениями :

а) ; б) ; в) 6^-1; г) ; д) ; е) 6^-2

и их значениями

а) 6,25; б) 2,5; в) 2/ 3; г) 1/6; д) 1/36; е) 4/9.

Выберите правильные ответы

Ответы

1. а)- е) – верно; 2.а) – б); б) -в); в) – г) ; г) – а) ;д)- e); е)- д).

Уровень 2

1. Верно ли, что а) ; б) ; в)

г) ; д) ; е) ?

2. Установите соответствие между выражениями :

а) ; б) ; в) 16 ^-1;г) ; д) ; е) - 4^-2

и их значениями

а) 25/144; б)3,5; в) 3/4; г) 1/16; д) -1/16; е) 4/49.

Выберите правильные ответы

Ответы

1. г,д,е) – верно; 2.а) – б); б) -в); в) – г) ; г) – а) ;д)- e); е)- д).

Уровень3

1. Значение выражения: 4^-3+4^-2+4^-1+4⁰ +4³+4²+4¹ равно

а) 85 ;б) 1; в) 0; г)80

2. Выражение (a^-1- b^-1) ab при a ≠ 0, b ≠ 0 тождественно равно

а) a - b; б) b-a; в) (b-a) ab; г)(a - b) ab.

Выберите правильные ответы

Ответы

1.а); 2.б).

Уровень 4

1. Значение выражения: 1,5^-3+1,5^-2+1,5^-1+1,5⁰ +1,5³+1,5²+1,5¹ равно

а) 85 ;б) 1; в) 0; г) 9 ;

2 . Упростите выражение (a^-1- b^-1) ^-1 (a-b);

а)-ab; б)1; в) (b+a) (a-b); г) ab.

Выберите правильные ответы

Ответы

1.г); 2.a)

Уровень 5

1. Значение выражения 4(-0,2) ^–2 + равно

а) 85, 5;б) 3,75; в)101,5; г) 98,5.

2. Результат упрощения выражения

( a ^{– 3}+ b ^{– 3}) ^{– 1} (a ² – ab+ b ²)(ab) ^{– 1} равен

а) ; б) ; в) ( a ³ + b ³) (a ³b – a ²b ²+ b ³) ; г) a + b.

Выберите правильные ответы

Ответы

1.г); 2.a)

Свойства степени с целым показателем = 2

Уровень 1

1.Установите соответствие между выражениями

а) (3 ^–1)^-2; б) 3 ^–13 ^–2 ; в) 2 ^–3: 2 ^–2 ; г) 2³ : 2⁵

и их значениями

а) ¼ ; б) 1/2; в) 1/ 27; г) 9

2. Установите соответствие между выражениями

а) b^-3b^-5; б) b^-3:b^-5; в) (b^-6)^{- 4}; г) (b⁵) ^{– 6}

и результатами выполнения указанных в них действий

а) b²; б) b^-8; в) b^-30; г) b²⁴

Выберите правильные ответы

Ответы

1 .а)– б); б)- а); в) – г) ; г) – в) ;

2.а)– г); б)- в); в) – б) ; г) – а) ;

Уровень 2

1.Установите соответствие между выражениями

а) 2 ^–1: 2 ^–2 ; б) 2³ ∙ 2^-1 ; в) 2 ^–3: 2 ^–2 +2 ² ∙ 2^-1 ; г) 2³ : 2⁴ -2 ¹ ∙ 2 ^-2

и их значениями

а)0; б)2; в) 4; г)2 ½.

2. Установите соответствие между выражениями

а) b³b^-5; б) b³:b^-5; в) (b⁶)^-4; г) (b^-5) ^{– 6}

и результатами выполнения указанных в них действий

а) b⁸; б) b^-2; в) b³⁰; г) b^{-2 4}.

Выберите правильные ответы

Ответы

1 .а)– б); б)- в); в) – г) ; г) – а) ;

2.а)– б); б)- а); в) – г) ; г) – в) ;

Уровень 3

1.Результат выполнения действий 2 ^–3: 2 ^–2 -2 ² ∙ 2 ^-1 - 2³ : 2⁴ +( 2 ^-1)² равен

а)0; б)2; в) -1,75; г)2 ½.

2. Больше 1 числа:

а) (1,2) ^–1(1,2) ²; б) 0,4^-3 : 0,4; в) ((-2)^-3)^-1;г) ((-0,2)^-3)^-1;

Выберите правильные ответы

Ответы

1.в); 2.a),б)

Уровень 4

1. Результат выполнения действий:

(3 ^–1 + 1,5 ^–1) : 5^-2 – ((4,23)^-1) ⁰ + 3∙0,1 ^-2

а)325; б)324; в) 25,75; г) -10,6

2. Больше 1 числа:

а)(-2) ^{( -3 )} ; б) – ((-2)^-3)^-(-1) ; в) ( ) ^–3; г)( -2,5)⁰

Выберите правильные ответы

Ответы

1.б); 2.б)

Уровень5

1. Результат выполнения действий

((3 ^–1 – 1,5 ^–1) (3 ^–1 + 1,5 ^–1) : 5^-2 – (-(4,23)^-1) ⁰ + 3∙0,1 ^{(– 2)} равен

а)25; б)300; в) 290 ⅔; г) 1061/3.

2. Больше 1 число

а)(2,5⁰ + ) ^–3; б) (3 ^–1 – 5 ^–1)^-1; в) (3 ^–1 – 5 ^–1)⁰ ; г ) ((1/3) ^–1 – 5 ^–1)^-1.

Выберите правильные ответы

Ответы

1.в); 2.б).

Корень n-ой степени. Арифметический корень

Определение 1 : Корнем n-й степени (nÎN, n>1) из числа a называют такое число, n-я степень которого равна a.

Для того, чтобы найти корень n-ой степени из числа a нужно решить уравнение xⁿ=a. При чётном n это уравнение имеет два корня: отрицательный и неотрицательный. Неотрицательный корень уравнения xⁿ=a. называется арифметическим корнем.

Арифметическим корнем n-й степени (nÎN, n>1) из действительного числа a называют такое неотрицательное число b, n-я степень которого равна a, обозначают b= . (Читают: «корень n-ой степени из числа a», слово «арифметический» опускают.)

По определению =b , b³0 Û , значит, .

Корень 2-й степени обозначают .

Основные свойства арифметического корня n-ой степени из неотрицательного действительного числа (a³0, b³0, nÎN, n>1, kÎN, k>1):

1) ;

2) (b¹0);

3) ;

4) ;

5) , (pÎZ, если p£0, то a¹0),

6) Þ .

Понятие степени с дробным показателем = 5

Уровень 1

1. Верно ли, что

а) ; б) в) г) ?

2. Верно ли, что

а) ; б) ; в) ; г) ;

Выберите правильные ответы

Ответы

1. а) - г) верно ; 2 а) - г) верно.

Уровень 2

1. Выражение равно

а) 2 ² ; б) 2 ^-2 ; в) ; г) .

2. Установите соответствие между степенями с дробным показателем :

а) ; б) ; в) ; г)

и корнями n –ой степени

а) ; б) ; в) ; г) .

Выберите правильные ответы

Ответы

1.г) ; 2 а) - г); б) – в) ; в) – а); г) – б).

Уровень 3

1.Установите соответствие между выражениями

а) 100 ^{- 2} ; б)100 ^{– 0,5} ; в) 100 ^-1,5; г). 100 ^1,5

и их значениями:

а) 1000; б) 0,001; в) 0,01; г). 0,1.

2. Вычислите :

а) 1; б)3; в)5; г).7.

Выберите правильные ответы

Ответы

1. а) - в); б) – г) ; в) –б); г) – а). 2.в).

Уровень 4

1.Установите соответствие между выражениями

а) 64 ^-1/3; б)64 ^{– 0, 5} ; в) 64 ^{– 5/6}; г). 64^5/6

и их значениями:

а)32; б)1/32; в) 1/8; г). ¼.

2.Вычислите : 0,00

а) 37; б)33,4 ; в) 8,8; г).8.

Выберите правильные ответы

Ответы

1. а) - г); б) – в) ; в) –б); г) – а). 2.б).

Уровень 5

1. Вычислите : 0,00

а) 85/3; б) 1128 ; в) -65/3 г)65/3.

2. Представьте степень с дробным показателем в виде корня

а) б) в) г)

Выберите правильные ответы

Ответы

1. в) ; 2.а).

Свойства степеней с дробным показателем=6

Уровень 1

1.Установите соответствие между выражениями

а) ; б) ; в) ; г) ;

и их числовыми значениями

а) 4; б)6; в) 24,5 ; г) .

2. Результат разложения на множители выражения -

( а – положительное число) равен

а) ; б) ; в) ; г) ;

Выберите правильные ответы

Ответы

1.а) - б); б) – а) ; в) –г); г) – в). 2.в).

Уровень 2

1.Установите соответствие между выражениями

а) : ; б) ; в) ; г) ;

и их числовыми значениями

а)0,25; б) 1/3; в) 10; г)0,16 .

2. Результат разложения на множители выражения a - b

( a, b – положительные числа); равен

а)нельзя разложить; б) ; в) ; г)

Выберите правильные ответы

Ответы

1.а) - б); б) – а) ; в) –г); г) – в). 2.г)

Уровень 3

1. Результат выполнения действий равен

а) 0,25; б) -0,25; в) 16; г)0,16 .

2.Результат разложения на множители выражения (a, b – положительные числа) равен

а) ; б) в) ; г) .

Выберите правильные ответы

Ответы

1. б); 2.в)

Уровень 4

1.Результат выполнения действий равен

а) 3 ; б)5; в) 7 ; г)16 .

2. Результат сокращения дроби равен

а) ;б) ; в) ; а)

Выберите правильные ответы

Ответы

1.в); 2.б).

Уровень 5

1.Результат упрощения выражения равен

a)-2x; б)1/ 2x; в) 2x; г)-1/2x.

2.Разложите на множители:

а) ;б) ;

в) ;г) ;

Выберите правильные ответы

Ответы

1.в); 2.г).

Представление корня n – ой степени в виде степени с дробным показателем =7

Уровень 1

1. Верно ли, что

а) ; б) ;в) ; г) ?

2. Вычислите значение выражения

а) 4 ; б) 8; в) 1; г) 2 .

Выберите правильные ответы

Ответы

1.а) - г) верно; 2.г).

Уровень 2

1. Верно ли, что

а) ; б) ; в) ; г) ?

2. Вычислите значение выражения

а) 5; б) ; в) 25; г) .

Выберите правильные ответы

Ответы

1.а) - б) верно; 2.в).

Уровень 3

1.Результат упрощения выражения

а) ; б) ; в) 2; г) .

2. Результат упрощения выражения:

а) ; б) 4; в)1; г)2;

Выберите правильные ответы

Ответы

1.г) 2.г).

Уровень 4

1. Упростите выражение

а) 5a⁵; б) 2|a|⁵ + 3a ⁵ ; в) 2|a|⁵ - 3a ⁵ ; г) a ⁵ .

2. Результат упрощения выражения

а) ; б) ; в) 1; г) 2 .

Выберите правильные ответы

Ответы

1.б) 2.2).

Уровень 5

1. Вычислите:

а))8; б) 4; в)1; г) 0,5;

2.Результат упрощения выражения

равен

а) + ; б) + ; в) 2; г) 2 .

Выберите правильные ответы

Ответы

1.г) 2. б).

Комбинированные задания по разделу « Степень с целым показателем»=8

Уровень1

1. Верно ли, что 2 ^{– 3} равно:

а)-6 ; б) –1/8 в) 0,125; г) 8?

2. Верно ли, что 5^-1 :

а) отрицательное число; б) число, большее, чем 2;

в) число, меньшее 1; г) число, большее 1?

3. Результате упрощения выражения а ^{– 5} (а ⁶) ^{– 2} : а ^–3 равен

а) а ^{- 4} ; б) а ^-14 ; в) а ^{– 6} ;г) а ^–12.

4. Значение выражения 2 ^{- 4} +(2^-1)²:8^-2 равно:

а)15 ; б) -8 ; в) ; г) 16

Выберите правильные ответы.

Ответы

1. г); 2. в) ; 3. б); 4. г).

Уровень2

1.Верно ли, что 2 ^{– 4} равно

а)-8 ; б) –0,0125 в) 0,0625; г) 8?

2.Верно ли, что2 ^{- 4}

а) отрицательное число; б) число, большее, чем 8;

в) число, меньшее 1; г) число, большее 1?

3. Результат упрощения выражения (а ^–3 )^-6(а⁴) ^-3 : а ^–3 равен

а) а⁶; б) а ^-7 ; в) а ^{– 13}; г) а ⁹.

4. Значение выражения (4^-1 )^-2 + (2^-1) ^-3:2 ^-3 равно:

а)80; б) – 4 ; в) 0,5; г) –64.

Выберите правильные ответы.

Ответы

1. в); 2. в) ; 3. г); 4. а).

Уровень3

1.Значение выражения 3 ^{- 3} + - ( 3^-1)⁴:3 ^–1 равно:

а) 9; б) 1/9; в)-30; г) другой ответ;

2. Результат упрощения выражения а ^–5a⁷ +a ³ ∙a⁰ :(а^—1) ^–2 равен

а) а²; б) а² +а^-3; в) а² +а ; г) другой ответ;

3.Больше 1 числа:

а) 3^-1; б) 0,2^-1; в) ; г) 4,456 ⁰;

4. Запись вида 4,05∙ 10 ^-2 - это стандартный вид числа:

а) 40,5; б) 405; в) 0,0405; г) 4,05 ;

Выберите правильные ответы

Ответы

1. а); 2. в); 3. б), в) ; 4. б).

Уровень 4

1. Значение выражения 4 ^-2 + - ( 2^-1)⁸: 4 ^–2 равно:

а) –7; б) 1/8; в)32; г) другой ответ;

2.Результат упрощения выражения а ^–12 :a^{- 4} +(a ¹³ )^-1 ∙a⁰ :(а^—12) равен

а) а⁸+а; б) а³ +а¹²; в) а^-8 +а^-1 ; г) другой ответ;

3. Меньше 1 число

а) 0,3^-1; б) 2,2 ^-1; в) ; г) 4,4 ⁰;

4. Запись вида 1,4005∙ 10 ^-2 - это стандартный вид числа:

а) 140,05; б) 14005; в) 0,0014005; г) 0,014005.

Выберите правильные ответы

Ответы

1. в); 2. в); 3. б); 4. г).

Уровень 5

1. Значение выражения ;

а) –7; б) 1/4; в)1; г) другой ответ;

2.Упростите выражение : (а+b)^-2: ;

а)( а -b) ²; б) ( а -b) ^{- 2}; в) ( а -b)^-1; ; г) другой ответ;

3.Не больше 1 число :

а) 0,3^{-(-1 )} ; б) 2,25^-5; в) ; г) (4,04) ⁰;

4. Запись вида 3 ∙10 ^-1 - это стандартный вид числа:

а)2 ; б) ; в)10 ; г) 100 ;

Выберите правильные ответы

Ответы

1. а); 2. а); 3.а), б),г); 4. б).

Поиск по сайту: