Дисперсия дифференцируемой функции случайного вектора

Для дифференцируемой функции случайного вектора

Z = f(X₁, X₂, …,X_n) (118)

связь между ее дисперсией σ_Z² и элементами ковариационной матрицы K_X её случайных аргументов X_1n^T может быть установлена лишь приближенно. Однако, при малых по модулю центрированных значениях случайных аргументов (в геодезии это величины, модуль которых порядка X ∙(10^-3 - 10^-4) и меньше) степень такого приближения вполне удовлетворительна.

Дано: Z = f(X_n1) = f(X₁, X₂, …,X_n) – дифференцируемая функция случайного вектора X_n1; K_X= {K_ij} – ковариационная матрица этого вектора, элементы которой K_ij определяются формулой (100).

Найти: D(Z) = – ?

Решение: Представим в формуле (118) каждую случайную величину X_i в виде суммы её математического ожидания и соответствующего центрированного значения :

Z = f(E(X₁) + ,… , E(X_n) + ).

Разложим дифференцируемую функцию f в ряд Тейлора в окрестности точки E(X_1n^T), ограничиваясь только линейными членами:

Z ≈ f(E(X₁) … E(X_n)) + (∂f/∂x₁) ∙ + … +(∂f/∂x_n) ∙ . (119)

Отсюда, переходя к математическому ожиданию функции Z, получаем:

E(Z) ≈ f(E(X₁), … , E(X_n)), (120)

так как E( ) =(μ₁)_iº 0.

Центрированное значение Ż величины Z будет линейной функцией центрированных значений её аргументов :

Ż= Z – E(Z) ≈ (∂f/∂x₁)∙ +…+(∂f/∂x_n)∙ . (121)

Численные значения частных производных (∂f/∂x_i) находят в окрестности точки разложения E(X_1n^T), где и вычисляется искомая дисперсия.

Окончательно, применяя к функции (121) формулу (115) и учитывая, что по третьему свойству дисперсии (60)

= ,

имеем:

≈ * +2 . # (122)

Полученная формула упрощается для попарно некоррелированных аргументов:

≈ ∙ . (123)

2.3.5.5 Определение дисперсий некоррелированных аргументов по дисперсии функции этих аргументов.

Сформулированная в заголовке данного параграфа задача имеет множество решений, так как в одном уравнении (123) мы имеем nнеизвестных дисперсий σ_i². Для выбора единственного решения требуются дополнительные ограничения, удовлетворяющие нас по каким-либо мотивам. Во-первых, очевидно, что все решения должны быть положительными, т.е. они не должны противоречить определению дисперсии. Во-вторых, ограничения можно сформулировать, опираясь на здравый смысл. Рассмотрим наиболее простые и практически обоснованные варианты ограничений: «принцип равных дисперсий», «принцип равных влияний» и «принцип имеющихся возможностей».

Принцип равных дисперсий. Данный принцип используется в ситуации, когда аргументы X_i являются физически однородными величинами и для их измерений предполагается использование однотипной технологии, характеризующейся постоянной дисперсией:

s_i² = s_j² = s². (124)

С учетом последнего ограничения, формула (123) упрощается:

s_Z² ≈ s² .

Откуда, окончательно, получаем выражение для искомой постоянной дисперсии аргументов:

s² ≈ / . (125)

Аналогично решается подобная задача для случая линейной функции (112):

s²= / .

Принцип равных влияний. Этот принцип используется в случае физически неоднородных аргументов и довольно условен. Под «влиянием» отдельного аргумента понимается произведение квадрата его частной производной на дисперсию этого аргумента, а сам принцип равных влияний заключается в приравнивании таких произведений друг другу:

(∂f/∂x_i)²s_i² = (∂f/∂x_j)²s_j² (126)

Данное условие приводит к тому, что в формуле (123) оператор суммы å заменяется множителем, равным числу аргументов «n» :

. (127)

Из формулы (127) получаем n значений искомых дисперсий:

. (128)

Для линейной функции (112) формула (128) принимает вид:

.

Принцип имеющихся возможностей. Этот принцип предполагает, что имеется возможность нахождения значений части случайных аргументов X_j с дисперсиями , определяемая, например, парком измерительных приборов. Не теряя общности, мы можем положить, что это – «k» первых аргументов. Дисперсии остальных (n – k) аргументов X_i необходимо найти. Сказанное позволяет разбить сумму (123) на две составляющие:

= + = + . (129)

Имея возможность вычислить первую сумму

= ,

находим вторую:

= – . (130)

Далее мы можем столкнуться с двумя ситуациями:

а) 0 и б) > 0.

В первом случае решения не существует, так как имеющиеся возможности определения величин X_j приводят к превышению заданного предельного значения дисперсии функции . Выхода здесь два: либо изменить проект определения величины Z, моделируемый функцией (118), либо искать новые возможности (приборы, технологии), характеризующиеся меньшими дисперсиями .

Во втором случае решение находят, используя уже описанный выше принцип равных дисперсий (125) или принцип равных влияний (128).

Поиск по сайту: