Две только что доказанные теоремы позволяют вычислять математическое ожидание суммы или произведения случайных величин, входящих в систему, по математическим ожиданиям слагаемых или сомножителей (с учетом ковариаций стохастически связанных сомножителей), не прибегая к промежуточной операции построения закона распределения результирующей случайной величины. Третья теорема этой группы даст возможность аналогично решить задачу нахождения дисперсии линейной функции случайного вектора по коэффициентам этой функции и по ковариационной матрице вектора её случайных аргументов.
KX = {Kij} – ковариационная матрица этого вектора, элементы которой Kij определяются формулой (100).
Найти: D(Z) = – ?
Решение: По определению дисперсии (51)
= = . (113)
Центрированное значение линейной функции Ż требуется лишь в качестве промежуточной величины, необходимой для вывода, т.к. математические ожидания случайных аргументов E(Xi) не указаны среди известных величин, хотя они и будут участвовать в преобразованиях:
Ż= Z – E(Z) = - - =
= = .
Возведем эту величину в квадрат, как этого требует формула (113):
Ż2= = .
Теперь определим МО этой суммы:
= . (114)
Величины и представляют собой дисперсии и ковариации Kij, соответственно, i-ых и j-ых компонентов случайного вектора и являются диагональными и недиагональными элементами ковариационной матрицы KX, которая полагается известной. Окончательно имеем:
= + 2 . # (115)
Для попарно некоррелированных компонентов формула (115) упрощается:
= . (116)
Теорема (116) имеет следствие: дисперсия алгебраической суммы попарно некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин:
= . (117)
Задача 2.14 [8]. Определить границы, в которых находится абсолютное значение коэффициента корреляции rXY.
Дано: X и Y– две коррелированные случайные величины; их коэффициент корреляции rXY = KXY / (sX∙sY).
Найти: |ρXY| – ?
Решение: Составим линейную функцию Zкоррелированных случайных аргументов X и Y:
Z = sY ∙X sX ∙Y.
Найдем её дисперсию по формуле (115):
= + 2 ρXY.
Поскольку дисперсия любой случайной величины по определению положительна, то справедливо неравенство:
2 2 ρXY> 0.
Разделив его на первое слагаемое левой части, увидим что
1 ± ρXY > 0,
откуда получим искомые границы:
| ρXY| ≤ 1.
Итак,абсолютное значение коэффициента корреляции не превышает единицы. #