Системы случайных величин. 2.3.1 Основные определения.

2.3.1 Основные определения.

Случайная величина, рассмотренная в разделе 2.2, призвана моделировать события, которые могут быть охарактеризованы одним показателем или последовательностью не связанных друг с другом признаков. Если событие имеет более сложную структуру, представляющую собой некоторую систему, то для его описания применяются не отдельные случайные величины, а системы случайных величин (ССВ) или случайные векторы. Формально переход от случайной величины к случайному вектору осуществляется простым объединением отдельных случайных величин в вектор. Однако, при этом, между случайными компонентами такого вектора могут проявиться новые качественные связи, для изучения которых потребуются новые числовые характеристики.

Случайные величины, входящие в вектор, удобно обозначать не различными буквами, а одной и той же буквой с нижними индексами. При этих условиях случайный вектор-столбец Х_n1, будет состоять из nслучайных компонентов X₁, X₂, …, X_k, …, X_n, каждый из которых обладает своим спектром:

X_k¹,X_k²,…,X_k^j,…, X_k^m (k-ый дискретный компонент CСВ),

(k-ый непрерывный компонент CСВ),

где k = 1, 2, ..., n– индекс случайного компонента, а j = 1, 2, ..., m– верхний индекс элемента его спектра для дискретного компонента. Если компоненты – непрерывные случайные величины, например, X_k, то числа a_k, b_k– это границы интервала, на котором существуют элементы спектра такого компонента.

Совокупность конкретных значений случайных компонентов описывает определенное состояние случайного вектора, представляющее собой пересечение состояний этих компонентов:

A_i…s= – (дискретная ССВ),

A_i…s= – (непрерывная ССВ).

Вероятность P(A_i…s) состояния A_i…s может быть определена любым из ранее рассмотренных способов: частотным, классическим, по третьей аксиоме и т.д. При этом важно учесть следующее обстоятельство: для случайного вектора должно быть построено новое пространство элементарных исходов, являющееся прямым декартовым произведением [1] пространств его компонентов:

W = W₁×W₂×…×W_n (83)

Связь между возможным состоянием случайного вектора A_i…s и соответствующей этому состоянию вероятностью P(A_i…s) = p_i…s называется законом распределения вероятностей случайного вектора. Как и в случае с одномерной случайной величиной закон распределения случайного вектора может иметь аналитическую, табличную или графическую форму. Две последних формы используются лишь для случайных векторов, содержащих не больше двух компонентов.

Ознакомимся сначала с системой двух дискретных случайных величин {X₁; X₂}, в которой, с целью упрощения записей, введём компоненты {X; Y}. Табличная форма закона распределения такого вектора представляет собой прямоугольную матрицу распределения, структура которой представлена в таблице (Табл.2.2).

Табл.2.2

Y X	y1	…	yj	…	yn	= P (X = xi|Y)
x1	p11	…	p1j	…	p1n
…	…	…	…	…	…	…
xi	pi1	…	pij	…	pin
…	…	…	…	…	…	…
xm	pm1	…	pmj	…	pmn
= P(Y= yj|X)		…		…		≡ 1

Поиск по сайту: