10. На промежутке сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. Интервал сходимости полученного ряда тот же, что и для исходного ряда.
20. На промежутке сходимости степенной ряд можно почленно интегрировать. Интервал сходимости полученного ряда тот же, что и для исходного ряда.
30. Если на интервале функцию можно разложить в степенной ряд, то это разложение единственно.
П р и м е р. Найдите интервал сходимости ряда и его сумму
♦ Если то ряд расходится, так как общий член стремится к бесконечности, а не к нулю. Поэтому область сходимости ряда Так как
то
П р и м е р. Найдите интервал сходимости ряда и его сумму
♦ Интервал сходимости ряда Так как то
П р и м е р. Найдите интервал сходимости ряда и его сумму
♦ Если то ряд расходится, так как общий член стремится к бесконечности. Поэтому область сходимости ряда Так как
то
П р и м е р. Найдите сумму ряда
♦ Так как , то
Если то
Ряд Тейлора
Функция разлагается в степенной ряд на интервале , если – интервал сходимости ряда .
Рядом Тейлора для функции в некоторой окрестности точки называется степенной ряд
Разложение функций в ряд Маклорена
При ряд Тейлора называют рядом Маклорена.
П р и м е р. Функцию разложите в ряд по степеням .
♦ Вместо формулы Тейлора применим свойства геометрической прогрессии при .
Разложение в ряд элементарных функций
.
Для функции имеем Подставив эти значения в формулу ряда Маклорена, получим
Для функции имеем Для производных чётного порядка , а нечётного Подставив эти значения в формулу ряда Маклорена, получим
Аналогично можно получить разложение
Для функции будем исходить из того, что ряд
сходится при Проинтегрируем обе части равенства
Для функции также применим интегрирование
П р и м е р. Разложите в ряд Маклорена функцию
♦ Заменяя на в равенстве , получим
; .
П р и м е р. Разложите в ряд по степеням функцию
♦ В равенстве , заменяя на ,получим . Отсюда
.
Кстати, при получим .
П р и м е р. Разложите в ряд по степеням функцию
♦ +
П р и м е р. Найдите сумму ряда
♦ Следует из разложения в ряд
П р и м е р. С точностью до 0,0001 вычислите
♦ Так как , то и
Упражнения
Разложите в ряд по степеням функции
Ряды Фурье
В приложениях науки и техники часто приходится иметь дело с явлениями, повторяющимися или воспроизводящимися через определённый промежуток времени. Такие явления описываются периодическими функциями. Функция называется периодической на промежутке Х, если существует число , для которого из того, что и принадлежат Х следует, что Период функции наименьшее положительное Функции периодические с периодом и с периодом Функция удовлетворяет условию Дирихле в интервале , если в этом интервале она может иметь конечное число точек разрыва 1-го рода, конечное число точек строгого экстремума и существует положительное число , для которого при
ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ.Если функция удовлетворяет условию Дирихле в интервале , то во всякой точке этого интервала, в которой функция непрерывна, её можно разложить в тригонометрический ряд
где коэффициенты вычисляются по формулам
В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов слева и справа функции . На концах отрезка сумма равна .▄
Пусть функция определена на отрезке Её периодическим продолжением называется функция , определённая на всей числовой прямой и периодическая с периодом 2 если на отрезке Ряд вида называется рядом Фурье для функции . Если ряд Фурье сходится к функции на отрезке , то как предел частичных сумм с периодом он является периодической функцией с этим же периодом ,
т. е. сходится на всей числовой прямой к её периодическому продолжению.
Если функция чётная, т. е. , то
Если функция нечётная, т. е. , то
Если функция удовлетворяет условию Дирихле в интервале , то во всякой точке этого интервала, в которой функция непрерывна, её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье
где числа вычисляются по формулам
В каждой точке разрыва функции сумма ряда Фурье равна , а на концах отрезка .
П р и м е р. Разложите в ряд Фурье Функцию
♦ Так как функция нечетная, то а
Ряд Фурье на интервале имеет вид
При сумма ряда равна
П р и м е р. Разложите в ряд Фурье функцию
♦ При сумма ряда равна Ряд Фурье на интервале имеет вид
так как функция четная, т. е. и
П р и м е р. Разложите в ряд Фурье функцию
♦ На интервале функция удовлетворяет условиям Дирихле и поэтому существует её разложение в ряд Фурье