Числовые ряды с положительными слагаемыми

ТЕОРЕМА (Необходимое и достаточное условие сходимости ряда). Для сходимости ряда с положительными слагаемыми необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Доказательство. Пусть ряд сходится. По свойствам пределов сходящаяся последовательность его частичных сумм ограничена.

Дано: последовательность частичных сумм ряда ограничена. Члены ряда неотрицательны, поэтому последовательность частичных сумм неубывающая, а ограниченная неубывающая последовательность имеет конечный предел.

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ). Если для рядов

(1)

(2)

с положительными слагаемыми выполняются неравенства , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) следует расходимость (2).

Доказательство. Пусть и - частичные суммы рядов (1) и (2). Если ряд (2) сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена. Так как , то ограничена и последовательность частичных сумм ряда (1). По предыдущей теореме ряд (1) сходится. Первая часть теоремы доказана.

Предположим, что ряд (1) расходится, а ряд (2) сходится. Тогда по первой части и ряд (1) сходится. А это противоречит условию.

Для сравнения часто выбирают геометрический ряд который сходится при и расходится при , и гармонический ряд , который расходится, а также обобщённый гармонический ряд Дирихле , который сходится при и расходится при (будет доказано ниже).

П р и м е р. Ряд сходится, так как

А геометрическая прогрессия со знаменателем сходится.

П р и м е р. Ряд расходится, так как для соответствующего слагаемого гармонического ряда, который расходится.

П р и м е р. Ряд расходится, так как и вообще, т. е. члены ряда больше соответствующих членов гармонического ряда.

ТЕОРЕМА(ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СРАВНЕНИЯ). Если для рядов

(1)

(2)

с положительными слагаемыми существует конечный предел , то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Для любого числа и для всех по определению предела

.

Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд А так как то по первому признаку сравнения, сходится и ряд (1).

Пусть ряд (1) расходится. Тогда в силу неравенства расходится и ряд По свойствам сходящихся рядов ряд (2) не может сходиться.

П р и м е р. Ряд расходится, так как а гармонический ряд с общим членом расходится.

П р и м е р. Ряд сходится, так как ряд с общим членом сходится, а .

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда

♦ При больших выполняется .Сравним ряд с гармоническим По предельному признаку сравнения ряд расходится.

ТЕОРЕМА(ПРИЗНАК ДАЛАМБЕРА). Пусть для ряда с положительными слагаемыми существует предел Если то ряд сходится. Если то ряд расходится. При требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Пусть подберем таким, чтобы . По определению предела существует такое, что для имеем или По первому признаку сравнения ряд сходится, так как

;

.

Пусть подберем таким, чтобы . Существует такое, что или для . Т. е.

; .

Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда

♦ Здесь Ряд сходится, так как

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда .

♦ Ряд расходится, так как

П р и м е р. По признаку Даламбера ряд сходится, если и расходится, если так как

ТЕОРЕМА (ПРИЗНАК КОШИ). Пусть для ряда с положительными слагаемыми существует предел Если то ряд сходится. Если то ряд расходится. При требуется дополнительное исследование.

Доказательство. Пусть подберем таким, чтобы . По определению предела существует , для которого при выполняется неравенство или По признаку сравнения ряд сходится.

Пусть подберем таким, чтобы . Существует , для которого при выполняется неравенство или Ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

П р и м е р. Исследовать сходимость ряда где и

♦ По признаку Коши при ряд сходится, а при расходится.

ТЕОРЕМА (ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК КОШИ) Пусть функция непрерывная, положительная и убывающая при Тогда ряд

и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Из геометрических соображений для частичных сумм ряда

Если интеграл сходится, то в правой части неравенства существует конечный предел, т. е. последовательность ограничена. Тогда и возрастающая последовательность ограничена сверху. Её предел существует и поэтому ряд сходится. Если интеграл расходится, то из неравенства следует, что и поэтому ряд расходится.

П р и м е р. Ряд Дирихле сходится, если и расходится, если

♦ Интеграл

сходится, если и расходится, если В частности, отсюда следует, что гармонический ряд расходится. Сходимость многих рядов исследуют при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле.

П р и м е р. Ряд сходится, так как ряд Дирихле сходится и существует .

Поиск по сайту: