Згинання називають косим, якщо усі навантаження діють у одній (силовій) площині, яка перетинає вісь балки , але не включає жодної з головних центральних осей інерції перерізу.
Якщо силових площин дві і більше, то таке згинання називається просторовим.
Рисунок 1
Розрахунки балок, які знаходяться в умовах косого або складного згинання, можна звести до сумісної дії двох плоских згинань у головних площинах. Для цього навантаження, що діють у довільних силових площинах треба спроектувати до головних площин , (рис. 1б). Таким чином, у будь-якому перерізі балки виникають чотири внутрішні силові фактори: .
Треба зазначити, що в даному методичному посібнику ми свідомо не торкаємося питань згинання тонкостінних відкритих профілів ( з однією віссю симетрії або без неї) , для яких поперечні сили, що проходять крізь центр ваги перерізу, породжують систему неврівноважених дотичних напружень. Останні утворюють крутний момент , що зумовлює вільне або стиснуте кручення.
У практичних розрахунках на міцність для більшості перерізів малими дотичними напруженнями , як правило нехтують. Таким чином, врахують лише нормальні напруження від дії згинальних моментів .
Незважаючи на загальні підходи до рішення задач косого і складного згинання, є деякі відмінності у цих випадках складного опору:
а) при косому згинанні деформована вісь бруса є плоскою кривою, а при складному згинанні – просторовою;
б) згинальні моменти у випадку косого згинання набувають максимальних значень в одному перерізі, а якщо згинання складне, - здебільшого в різних.
Розглянемо жорстко затиснуту консольну балку, навантажену на вільному кінці силою , яка лежить у силовій площині, нахиленій під кутом до головної площини (рис. 2а).
Розкладемо зусилля по головних осях перерізу і, таким чином, зведемо задачу косого згинання до комбінації двох плоских згинань у головних площинах та .
(1)
Рисунок 2
У довільному перерізі згинальні моменти визначаються за співвідношеннями:
(2)
Максимальні значення вони набувають у перерізі , при , який є найбільш небезпечним.
(3)
Обчислимо напруження в точці довільного перерізу, яка знаходиться у першому його квадранті (рис. 2б):
(4)
Оскільки тип напружень від дії згинальних моментів однаковий (рис. 2б) , їх можна алгебраїчно просумувати:
(5)
Усі складові співвідношень (5) (згинальні моменти та координати) будемо вважати додатними, а знак приписувати кожному сполучнику окремо, зважаючи на деформації у відповідному квадранті.
Аналізуючи розподіл нормальних напружень у перерізі (рис. 2б), робимо висновок, що нульові напруження можуть знаходиться лише у точках другого та четвертого квадрантів.
Позначимо координати точки з напруженнями (рис. 3), тоді з формули (5) маємо:
. (6)
Це рівняння є рівнянням прямої, що проходить крізь початок координат (центр ваги перерізу) і квадранти з різними знаками нормальних напружень. Така лінія називається нейтральною.
Кутовий коефіцієнт цієї прямої:
(7)
Рисунок 3
Якщо зважити, що з формул (2)
,
то остаточно
. (8)
Таким чином, нейтральна лінія завжди відхиляється від осі на кут в ту ж сторону, в яку слід силової площини відхиляється від осі на кут (рис.3). Різниця між цими кутами залежить від співвідношення осьових моментів інерції перерізу. Наприклад, якщо прийняти , а співвідношення (що відповідає двотавру), легко підрахувати кут , який коливається між 85÷89 градусами.
То ж у випадку косого або просторового згинання для перерізів ( ) нейтральна лінія не є ортогональною до сліду площини дії згинального моменту. Ця обставина є характерною рисою косого згинання. І навпаки, якщо головні моменти інерції однакові ( ), косе згинання унеможливлюється, бо кути і стають рівними, тобто нейтральна лінія стає ортогональною до сліду силової площини, а це є ознакою прямого згинання. Так відбувається у разі, якщо переріз балки є кругом, кільцем, квадратом і т.п.
Для визначення найбільш небезпечних точок ( у розтягнутій та стислій зонах) у випадку довільного перерізу проведемо дві паралельні до нейтральної лінії прямі, які дотичні до контурних точок перерізу. У створі між цими прямими будується епюра сумарних нормальних напружень.
Точки 1 та 2 є найбільш віддаленими від нейтральної лінії і тому найбільш напруженими (рис.3). У нашому прикладі в точці 1 діють максимальні розтягуючі, а у точці 2 – стискаючі напруження.
Таким чином, умови міцності для перерізу мають вигляд:
(9)
де та – допустимі напруження розтягання та стискання відповідно.
Якщо переріз має дві вісі симетрії, наприклад прямокутник, то співвідношення (9) дещо скорочуються:
(10)
В цих виразах
(11)
де – координати найбільш віддалених від нейтральної лінії точок.
У випадку, якщо матеріал стержня має однакову міцність на розтягання і стискання, тобто , то умови (10) перетворюються:
(12)
Зрозуміло, що найбільші напруження будуть спостерігатись у найбільш небезпечних перерізах, де згинальні моменти набувають своїх максимальних значень.
Відносно складових напруження у виразах (10) та (12) можна зробити наступні спостереження. У перерізах, де , що опиняються в умовах косого або просторового згинання, можна говорити про наявність «сильної» та «слабкої» площин перерізу. Тому дія малого згинального моменту у «слабкому» напрямку може привести до появи більших напружень, ніж при дії значного моменту у «сильній» площині.
Доречи, якщо переріз балки має виступаючі кути і може бути вписаний в прямокутник, то незалежно від положення нейтральної лінії найбільш віддаленими точками будуть відповідні кутові. У таких випадках, для розрахунків максимальних напружень у перерізі визначення положення нейтральної лінії втрачає сенс.
Добір перерізів при косому та просторовому згинанні – задача більш складна, ніж при прямому плоскому згинанні. При її розв’язанні треба задатися відношенням моментів опору:
(13)
Тоді, з урахуванням (13), умова міцності (11) буде мати вигляд:
(14)
а моменти опору визначаються наступним чином:
(15)
У випадку просторового згинання, якщо згинальні моменти набувають максимальних значень у двох різних перерізах, задача вирішується за допомогою метода спроб з послідуючою перевіркою. Перша спроба виконується у перерізі, де діє максимальний за абсолютною величиною момент. У іншому (другому) перерізі обов’язково виконується перевірка.
Приклад 1
Визначити номер двометрової консольної балки (рис. 4) з умови міцності, якщо , ,
.
Рисунок 4
Двотаврова балка знаходиться в умовах складного (просторового) згинання, бо згідно зі схемою навантаження (рис. 4) можна визначити дві силові площини, які перетинають поздовжню вісь двотавру. Одна з цих площин співпадає з головною центральною площиною , інша нахилена до горизонту під кутом .
Розкладемо зусилля по головним осям перерізу, та зведемо складне згинання до двох плоских згинань в площинах (рис. 5а) та (рис. 5б).
У кожній площині збудуємо епюри згинальних моментів. Дією поперечних зусиль будемо нехтувати.
Найбільший за модулем згинальний момент досягається в перерізі О, тому першу спробу добору двотавру зробимо саме для цього перерізу. Проаналізуємо напружений стан перерізу. З розподілу згинальних моментів у перерізі О визначимо знаки нормальних напружень у різних квадрантах перерізу (рис. 6).
Рисунок 6
Зважаючи на правила знаків для згинальних моментів, можна констатувати, що у площині в зону стискання потрапляють нижні волокна перерізу (волокна з від’ємною координатою у). У площині стислими є ліві волокна, або волокна з від’ємною координатою х (рис. 6). При лінійному розподілі нормальних напружень вздовж координат перерізу маємо дві найбільш напружені точки 1 та 2, для яких складемо умову міцності. Оскільки , то
Аналізуючи співвідношення для двотаврів, можна дістати висновку, що середнє значення коефіцієнта , тому
Для перерізу О теоретично необхідний момент опору дорівнює:
.
Для перерізу В теоретично необхідний момент опору дорівнює:
.
В якості моменту опору двотавру, що відповідає умові міцності в обох перерізах необхідно обирати більший з двох можливих:
.
З таблиць сортаменту добираємо найближчий більший двотавр №30а, який має наступні характеристики:
.
Тоді у перерізі В (рис. 7) максимальні напруження в точках 3,4 становлять:
.
Перенавантаження складає:
,
що цілком допустимо.
Розподіл напружень в поперечному перерізі має вигляд:
Рисунок 7
Визначаючи переміщення та кути повороту перерізів при косому та просторовому згинанні, також виходимо з принципу незалежності дії сил. Обчислюємо ці величини в кожній з головних площин та , а результати сумуємо геометрично.
Таким чином, повний прогин і кут повороту визначаються формулами:
(16)
Як приклад, обчислимо прогин вільного кінця консолі, навантаженою силою (рис.2а). Ці переміщення можна знайти багатьма способами (метод початкових параметрів, інтеграл Максвелла – Мора, спосіб Верещагіна і т.п.), які дають однакове рішення для прогину [1]:
(17)
Як і раніше розкладемо силу по головним осям. Тоді в площині маємо
,
відповідно у площині
.
Утворимо співвідношення
. (18)
Порівнюючи його з (8), достаємо висновку:
.
Якщо зважити, що кути та відлічуються від взаємно ортогональних напрямків (осей та відповідно), маємо (рис. 8)
Рисунок 8
тобто напрямок повного прогину у випадку косого та просторового згинання завжди ортогональний до нейтральної лінії перерізу. Тому для визначення цього напрямку необхідно попередньо знайти положення нейтральної лінії для будь-якого за формою перерізу.
Приклад 2
Розглянемо двотаврову балку №70, завантажену силою посередині (рис. 9).
Рисунок 9
З таблиць сортаменту для двотаврів геометричні характеристики поперечного перерізу:
Легко підрахувати опорні реакції, що становлять половину від сили (завдяки симетрії системи). Тоді при прямому згинанні
.
Максимальні напруження на полицях двотавру дорівнюють:
.
Максимальний прогин (у напрямку осі ) посередині балки (переріз С) підраховується як [1]
.
Припустимо, що при монтажі балки була зроблена невелика похибка у , на які стійка профілю відхилилася від вертикалі (рис. 10). Завдяки цьому маємо класичний випадок косого згинання.
Рисунок 10
Розкладемо силу по головних осях перерізу.
Розрахункові схеми навантаження в площинах та під дією сил відповідно є подібними до схеми прямого згинання (рис. 9). Максимальні згинальні моменти у перерізі С дорівнюють:
а максимальні напруження при косому згинанні
Співвідношення
вказує на зростання напружень при косому згинанні більше ніж у півтори рази (на 51,4 %). Згідно з формулою (16) повний прогин при косому згинанні є геометричною сумою прогинів у головних площинах перерізу (рис. 11) Напрям повного прогину лежить на перпендикулярі до нейтральної лінії.
Рисунок 11
Підрахуємо спочатку кут нахилу нейтральної лінії. Згідно з (7)
Таким чином, напрямок повного прогину при косому згинанні відхилився від вертикалі на . Підрахуємо повний прогин та порівняємо його з прогином при прямому згинанні.
Розрахунок свідчить, що у разі косого згинання прогини зростають майже вдвічі (на 99 %) для перерізів у яких .
Слід зауважити, що приведені результати мають місце для геометрично лінійної постановки задачі з малими переміщеннями, які розподіляються згідно з диференціальним рівнянням зігнутої осі балки [1].
Якщо прогини близькі до розмірів перерізів, то треба використовувати точне рівняння зігнутої осі балки, що забезпечує нелінійний зворотний зв'язок між згинальними моментами та прогинами балки: