Мал. 11.2. Динаміка врожайності озимої пшениці в деякій селянській спілці за 1991-2005 рр. (1 – згладжені дані; 2 – фактичні дані)

Згладжування за гіперболою доречно тоді, коли із плином часу ряд динаміки зростає або спадає до певної межі. Рівняння гіперболи відповідає формулі:

Для знаходження параметрів “a₀” i “a₁” в даному рівнянні способом найменших квадратів застосовують систему нормальних рівнянь:

Якщо добитися, щоб , тоді параметри “a₀” i “a₁” знаходимо за новою системою рівнянь:

Перетворивши цю систему рівнянь на логарифмічну, дістанемо:

звідки і

Прийнявши за метод згладжування рівняння гіперболи і прологарифмувавши його: , параметри “a₀” i “a₁” знайдемо за наведеними вище формулами.

· У разізгладжування за параболою другого порядку параметри “а₀”,“а₁”і“а₂” визначають способом найменших квадратів, для чого складають і розв’язують систему нормальних рівнянь:

Якщо добитись, щоб = 0, тоді й = 0, а, отже, система рівнянь спрощується:

Із цієї системи , параметри “a₀” i “a₁” визначають розв’язанням системи двох рівнянь з двома невідомими.

Згладжування за показниковою функцією здійснюють у тих випадках, коли динамічний ряд розвивається за геометричною прогресією, тобто коли ланцюгові темпи зростання більш-менш сталі.

Показникову функцію, яку застосовують для згладжування динамічного ряду, описує рівняння:

Для визначення параметрів “a₀” i “a₁” цього рівняння методом найменших квадратів попередньо логарифмують рівні, потім логарифми показникової функції описують лінійною функцією:

Система нормальних рівнянь у даному випадку має такий вигляд:

якщо , тоді

звідки і

Коефіцієнт “а₁” в показниковій функції характеризує середній темп зростання досліджуваної ознаки.

· Особливе місце в аналітичному вирівнюванні рядів динаміки посідає згладжування за допомогою ряду Фур’є, який описується рівнянням:

де k - ступінь точності гармонік (частіше всього від 1 до 4);

t - час, виражений в радіанній мірі або градусах.

Згладжування за наведеною формулою доречно, коли в емпіричному ряду є певна періодичність змін його рівнів, яка має вигляд синусоїдних коливань, що є гармонійними коливаннями. Синусоїди, отримані внаслідок згладжування рядом Фур’є, називають гармоніками відповідних порядків.

У разі згладжування рядом Фур’є періодичні коливання рівнів динамічного ряду мають вигляд суми кількох гармонік, нашарованих одна на одну. Так, при k = 1 рівняння Фур’є має вигляд:

При k = 2 відповідно: і т.д.

Залежно від часу “t” знаходять за таблицею 11.6 відповідні значення cos i sin.

Таблиця 11.6

Відповідність радіанів і градусів як одиниць часу “t”

Параметри рівняння теоретичних рівнів визначають способом найменших квадратів.

Знайшовши часткові похідні функції ряду Фур’є і прирівнявши їх до нуля, дістанемо систему нормальних рівнянь, за якими можна обчислити параметри:

Покажемо згладжування за періодичною функцією ряду Фур’є на прикладі даних про обсяг реалізації побутових холодильників торговими підприємствами однієї з облспоживспілок України за деякі роки (табл. 11.7).

У зазначеній таблиці показано розрахунок необхідних даних для знаходження параметрів рівняння ряду Фур’є за першою гармонікою:

Звідси:

Підставивши в дане рівняння значення cos t i sin t , дістанемо теоретичний обсяг реалізації холодильників у розрізі кварталів:

і т.д.

Таблиця 11.7

Зведені дані згладжування динамічного ряду за допомогою ряду Фур’є

Рік	Квартал	Радіанна міра (t)	Обсяг реаліза- ції холодиль-ників, шт. (y)	cos t	sin t	y cos t	y sin t	Згладже-ний ряд
	І ІІ ІІІ ІV	p/6 p/3 p/2		1,000 0,866 0,500	0,500 0,866 1,000	1942,00 2560,46 1250,00	1478,50 2168,46 2194,00	2733,03 2533,65 2370,34 2286,84
	I II III IV	2p/3 5p/6 p 7p/6		-0,500 -0,866 -1,000 -0,866	0,866 0,500 -0,500	-1063,00 -2341,66 -3291,00 -1511,17	1841,12 1352,00 -872,50	2305,56 2421,45 2603,47 2802,85
	I II III IV	4p/3 3p/2 5p/3 11p/6		-0,500 0,500 0,866	-0,866 -1,000 -0,866 -0,500	-1252,50 1917,00 2176,26	-2169,33 -3704,00 -3320,24 -1256,50	2966,16 3049,66 3030,94 2915,05
Разом:	х	х		х	х	+388,69	-2288,49	32019,00

Поиск по сайту: