ЗАДАЧИ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Контрольная работа включает решение девяти задач. Вариант контрольной работы задается преподавателем, номера задач берутся из табли-цы 1. Справочные материалы приведены в приложении.

Таблица 1

Продолжение таблицы 1

1. Период колебаний материальной точки с, амплитуда 5 см, начальная фаза равна нулю. Каковы смещение, скорость и ускорение колеблющейся точки через 0,4 с после начала колебаний? Колебания происходят по закону косинуса.

2. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой и периодом . Написать уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения .

3. Точка совершает гармонические колебания с периодом и начальной фазой, равной нулю. Определить, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды. .

4. Записать уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания с амплитудой , если за совершается . Начальная фаза колебаний равна .

5. Точка совершает гармонические колебания по закону . Определить: 1) период колебаний; 2) максимальную скорость точки.

6. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой и периодом . Определить для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение.

7. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением . Записать зависимость смещения этой точки от времени.

8. Написать уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда , максимальная скорость колеблющейся точки , начальная фаза .

9. Определить максимальные значения скорости и ускорения точки, совмещающей гармонические колебания с амплитудой и периодом .

10. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой , в момент времени проходит положение, определяемое координатой , со скоростью . Определить амплитуду колебаний.

11. Определить максимальную скорость и максимальное ускорение точки, колеблющейся по закону (смещение дано в сантиметрах).

12. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение точки равно , наибольшая скорость . Найти циклическую частоту колебаний и максимальное ускорение точки.

13. Точка совершает колебания по закону , где . Определить начальную фазу , если и . Построить векторную диаграмму для момента .

14. Колебания точки происходят по закону . В некоторый момент времени смещение точки равно , ее скорость и ускорение . Найти амплитуду , циклическую частоту , период колебаний и фазу в рассматриваемый момент времени.

15. Точка совершает колебания по закону , где ; . Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость .

16. Ареометр массой , плавающий в растворе серной кислоты, указывает, что плотность жидкости . Если прибор сместить из положения его равновесия немного по вертикали и отпустить, он начнет колебаться. Считая колебания незатухающими, определить их период, если радиус цилиндрической трубки ареометра, в которой заключена его шкала, равен .

17. Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает ее на . Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали и отпущено, в результате чего оно стало совершать гармонические колебания. Найти их период.

18. Тело, неподвижно висящее на цилиндрической пружине, растягивает ее на . Затем тело было смещено из положения равновесия по вертикали вниз на и отпущено, в результате чего оно стало совершать гармонические колебания. Определить скорость тела в момент прохождения им положения равновесия.

19. Частица массы совершает колебания в силовом поле, где ее потенциальная энергия зависит от координаты как , где и – постоянные величины. Найти циклическую частоту малых колебаний частицы около положения равновесия . ( При малых колебаниях принять ).

20. Идеальная жидкость объемом налита в – образную трубку (рис. 19) с площадью поперечного сечения канала . Найти период малых колебаний жидкости.

21. В открытую с обоих концов – образную трубку с площадью поперечного сечения быстро вливают ртуть массой . Пренебрегая вязкостью, найти период малых колебаний ртути в трубке (рис. 19).

22. Ареометр массой , имеющий форму цилиндрической трубки диаметром , плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду, а затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период этих колебаний.

23. Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находится лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период колебаний бревна равно . Определить длину бревна.

24. Определить период вертикальных колебаний плавающей в воде бутылки массой . Площадь поперечного сечения бутылки , плотность воды .

25. Амплитуда колебаний некоторой точки струны , частота колебаний . Считая колебания незатухающими, определить путь, пройденный точкой за время .

26. Небольшой шарик массой , подвешенный на нерастяжимой изолирующей нити над положительно заряженной плоскостью, создающей однородное вертикальное электрическое поле напряженностью , совершает малые колебания. После того как ему сообщили заряд , период колебаний изменился и стал . Найти длину нити.

27. Математический маятник длиной находится в лифте, движущегося равноускоренно вниз так, что его скорость увеличивается на за каждую секунду. Найти период колебаний такого маятника.

28. Небольшой шарик массой , подвешенный на шелковой нити в однородном электрическом поле напряженностью , направленным вертикально вниз, совершает малые колебания. После того как ему сообщили заряд , период колебаний изменился. Найти период колебаний заряженного шарика на нити, если длина нити .

29. В лифте, поднимающемся вверх с ускорением , находится математический маятник длиной . Сколько колебаний совершит маятник за время ?

30. Два неподвижных точечных заряда по каждый расположены на расстоянии друг от друга. Посередине между этими зарядами расположен шарик массой , несущей точечный положительный заряд , который может перемещаться только вдоль линии (рис. 20). Определите период малых колебаний заряда.

31. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стенку, колеблется в плоскости, параллельной стенке. Радиус обруча равен . Вычислить период колебаний обруча.

32. Однородный диск радиусом колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии от центра диска. Определить период колебаний диска относительно этой оси.

33. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной . Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной.

34. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние от центра масс стержня. При каком значении период колебаний имеет наименьшее значение?

35. Математический маятник длиной и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной синхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние от центра масс стержня до оси колебаний.

36. Шар, радиус которого , подвешен на нити длиной . Определить относительную погрешность, которую допускают, если, вычисляя период колебаний маятника, принимают его за математический маятник длиной .

37. Маятник состоит из стержня (длиной , массой ), на верхнем конце которого укреплен маленький шарик (материальная точка массой ), на нижнем – шарик ( , ). Определить период колебаний этого маятника около горизонтальной оси, проходящей через точку в центре стержня (рис. 21).

38. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?

[Период уменьшится в 1,8]

39. Бруску массой , лежащему на гладком полу и соединенному со стеной недеформированной невесомой пружиной жесткостью , сообщают скорость в направлении, перпендикулярном стене (рис. 22). Какова максимальная величина деформации пружины? Написать уравнение гармонических колебаний бруска.

40. Математический маятник длиной подвешен в кабине самолета. Определить период колебаний маятника, если самолет движется: 1) равномерно; 2) горизонтально с ускорением .

41. Из тонкого однородного диска радиусом вырезана часть, имеющая вид круга радиусом , так, как это показано на
рис. 23. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси , совпадающей с одной из образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период колебаний такого маятника.

42. Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной (рис. 24), колеблется относительно горизонтально оси, проходящей через точку перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки.

43. На концах тонкого стержня длиной укреплены по одинаковому грузику. Под действием силы тяжести система колеблется в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, которая делит длину стержня в отношении . Пренебрегая массой стержня, определить период колебаний маятника.

44. На горизонтальной поверхности лежат два бруска, массы которых равны соответственно и . Бруски связаны пружиной жесткостью . Пружина сжата при помощи двух нитей, как показано на рис. 25. Нити пережигают. Определите период колебаний данной системы. Трение отсутствует.

45. Тело массой заключено между двумя пружинами с коэффициентами жесткости и (рис. 26). Чему равен период свободных колебаний тела?

46. Материальная точка участвует одновременно в двух колебательных процессах, происходящих в одном направлении по гармоническому закону с одинаковой частотой, амплитудами и и сдвигом по фазе . Начальная фаза первого колебания равна нулю. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Построить векторную диаграмму по данным задачи.

47. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами и имеют разность фаз . Определить амплитуду результирующего колебания. Построить векторную диаграмму по данным задачи.

48. Определить разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковых частоты и амплитуды, если амплитуда их результирующего колебания равна амплитудам складываемых колебаний. Построить векторную диаграмму по данным задачи.

49. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода и одинаковой амплитуды составляет . Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

50. Материальная точка участвует в трех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:

; ;

(смещения даны в сантиметрах). Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания.

51. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями:

;

(смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и построить ее на чертеже. Показать направление движения точки. Определить скорость точки в момент времени .

52. Точка участвует одновременно в трех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:

; ;

(смещения даны в сантиметрах). Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания. Применить метод векторных диаграмм.

53. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выраженных уравнениями:

; .

Написать уравнение траектории и показать, в каком направлении происходит движение.

54. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями:

;

(смещения даны в сантиметрах). Найти уравнение траектории точки и вычертить ее с нанесением масштаба.

55. Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами с амплитудами . Начальные фазы колебаний и . Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания и построить векторную диаграмму сложения амплитуд.

56. Найти графически амплитуду колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления:

;

(смещения даны в сантиметрах).

57. Найти графически амплитуду колебаний, которые возникают при сложении следующих колебаний одного направления:

; ;

(смещения даны в сантиметрах).

58. Точка движется в плоскости по закону , , где , , – постоянные. Найти: а) уравнение траектории точки и направление ее движения по этой траектории; б) ускорение точки в зависимости от ее радиус-вектора относительно начала координат.

59. Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой и с одинаковой начальной фазой . Амплитуда одного из колебаний равна , амплитуда другого .

60. Складываются два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковыми периодами, равными , и одинаковыми амплитудами, равными . Сдвиг фаз между колебаниями . Начальная фаза первого колебания равна нулю, его смещение в начальный момент времени тоже равно нулю. Определить амплитуду, циклическую частоту результирующего колебания и построить векторную диаграмму.

61. Тело массой совершает гармонические колебания по закону . Определить максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

62. Материальная точка массой совершает гармонические колебания согласно уравнению . Определить: 1) возвращающую силу для момента времени ; 2) полную энергию точки.

63. Материальная точка массой совершает гармонические колебания по закону . Определить полную энергию этой точки.

64. Полная энергия точки, совершающая гармонические колебания, равна , а максимальная сила , действующая на точку, равна . Написать уравнение движения этой точки, если период колебаний равен , а начальная фаза .

65. Определить отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии , если известна фаза колебания.

66. Шарик, прикрепленный к пружине, совершает гармонические колебания на гладкой горизонтальной плоскости с амплитудой . На сколько сместиться шарик от положения равновесия за время, в течение которого его кинетическая энергия уменьшится вдвое?

67. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой . Определить жесткость пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия груза составляет .

68. Материальная точка колеблется согласно уравнению , где и . Когда возвращающая сила в первый раз достигает значения , потенциальная энергия точки оказывается равной . Определить: 1) этот момент времени ; 2) соответствующую этому моменту фазу .

69. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой . Определить полную энергию колебаний груза, если жесткость пружины составляет .

70. На горизонтальной пружине жесткостью укреплен шар массой , лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения (рис. 27). Пуля массой , летящая с горизонтальной скоростью и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить: 1) амплитуду колебаний шара; 2) период колебаний шара.

71. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой . Определить полную энергию колебаний гири, если жесткость пружины составляет .

72. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой . Жесткость пружины . Определить кинетическую и потенциальную энергии груза в момент времени, когда груз сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

73. Материальная точка массой совершает колебания, уравнение которых имеет вид , где и . Найти кинетическую и потенциальную энергии точки в момент времени, когда фаза колебаний будет равна .

74. Колебания материальной точки массой происходят согласно уравнению , где и . Определить максимальные значения возвращающей силы и кинетической энергии .

75. Колебания материальной точки происходят согласно уравнению , где и . В момент, когда возвращающая сила в первый раз достигла значения , потенциальная энергия точки стала равной . Найти этот момент времени и соответствующую ему фазу.

76. Период затухающих колебаний , логарифмический декремент затухания , начальная фаза равна нулю. Смещение точки за составляет . Записать уравнение этого колебательного движения.

77. Амплитуда затухающих колебаний маятника за уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания .

78. Математический маятник длиной совершает небольшие колебания в среде, в которой коэффициент затуханий . Определить время и число полных колебаний , по истечении которых амплитуда колебаний маятника уменьшится в 5 раз. 1<N<2, т.е. по прошествии двух полных колебаний амплитуда уменьшится больше чем в 5 раз]

79. Логарифмический декремент колебаний маятника равен 0,01. Определить число полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуда в 3 раза.

80. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за уменьшилась в 3 раза. Во сколько раз она уменьшится за .

81. Математический маятник длиной совершает небольшие колебания в среде, в которой коэффициент затуханий . Во сколько раз должен возрасти коэффициент трения, чтобы колебания стали невозможны?

82. Тело массой , подвешенное на спиральной пружине жесткостью , совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний . Определить время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза.

83. Гиря массой , подвешенная на спиральной пружине жесткостью , совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний . Определить число полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы произошло уменьшение амплитуды колебаний в 3 раза.

84. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в некоторой среде, за время уменьшилась в . Определить коэффициент сопротивления, если масса маятника .

85. Найти время , в течение которого энергия колебаний камертона с частотой уменьшится в , если логарифмический декремент затухания .

86. За время, в течение которого система совершает полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определить добротность системы.

87. Частота свободных колебаний некоторой системы , а ее добротность . Определить собственную частоту колебаний этой системы.

88. Математический маятник совершает колебания в среде, для которой логарифмический декремент затухания . Каким будет значение , если коэффициент сопротивления среды увеличить в ?

89. Затухающие колебания точки происходят по закону . Найти амплитуду смещения и скорость точки в момент .

90. Тело массой совершает затухающие колебания. В течение времени тело потеряло своей энергии. Определить коэффициент сопротивления .

91. Собственная частота колебаний колебательной системы составляет . Определить частоту затухающих колебаний этой системы, если резонансная частота .

92. Найти разность фаз между смещением и вынуждающей силой при резонансе смещения, если собственная циклическая частота колебаний и коэффициент затухания .

93. Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний , а логарифмический декремент .

94. Амплитуды смещений вынужденных гармонических колебаний при частотах и равны между собой. Найти частоту , при которой амплитуда смещения максимальна.

95. Тело массой движется по закону под действием вынуждающей силы . Найти коэффициент затухания колебаний.

96. Найти максимальное значение амплитуды смещения осциллятора, совершающего установившиеся вынужденные колебания под действием внешней гармонической силы с амплитудой , если циклическая частота затухающих колебаний данного тела и коэффициент сопротивления .

97. Гиря массой , подвешенная на спиральной пружине жесткостью , опущена в масло. Коэффициент сопротивления для этой системы . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше собственной частоты колебаний.

98. Гиря массой , подвешенная на спиральной пружине жесткостью , совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить: 1) частоту собственных колебаний; 2) резонансную частоту ; 3) резонансную амплитуду ; 4) статистическое отклонение.

99. Вагон массой имеет четыре рессоры. Жесткость пружин каждой рессоры равна . При какой скорости вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина рельс равна ?

100. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуждающей силы будет больше резонансной частоты в два раза? Коэффициент затухания равен ( – циклическая частота собственных колебаний).

101. Период собственных колебаний пружинного маятника равен . В вязкой среде период того же маятника стал равным . Определить резонансную частоту колебаний.

102. Определить логарифмический декремент колебаний колебательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты

Поиск по сайту: