1.1. Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина (например, линейное или угловое смещение из положения равновесия) изменяется со временем по закону синуса или косинуса:
или ,
где – амплитуда колебаний (максимальное значение колеблющейся величины), – фаза колебаний в момент времени , – начальная фаза в момент времени , – циклическая (круговая) частота колебаний.
1.2. Циклическая частота связана с периодом и линейной частотой как ,
где – линейная частота (число полных колебаний в единицу времени).
Следует обратить внимание на различие наименований и размерности циклической и линейной частот: , ; , Гц (герц).
В пособии используется функция косинуса
1.3. Скорость колеблющейся точки:
1.4. Ускорение колеблющейся точки:
Скорость и ускорение изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает смещение по фазе на , а ускорение – на . На рис. 1 приведены графики зависимостей , , для случая .
1.5. Гармонические колебания можно представить комплексным выражением. С помощью формулы Эйлера:
,
где – мнимая единица, легко видеть тождественность следующих математических выражений:
.
В теории колебаний принимается, что колеблющаяся величина равна вещественной части комплексного выражения (обозначение вещественной части принято опускать):
.
ДИНАМИКА ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
Основные понятия, законы и формулы
2.1. Сила, действующая на колеблющуюся материальную точку
,
пропорциональна смещению материальной точки и направлена в противоположную сторону (к положению равновесия).
2.2. Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки:
.
2.3. Потенциальная энергия материальной точки, колеблющейся под действием квазиупругой силы :
где – коэффициент упругости .
2.4. Полная энергия
.
На рис. 2. приведены графики зависимости энергий , от времени. Из рисунка видно, что в процессе колебаний происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
Энергии и изменяются с частотой , т.е. с частотой, которая в 2 раза превышает частоту изменения смещения от времени.
Примерами гармонических осцилляторов будут пружинный, физический, математический маятники, совершающие свободные колебания без трения под действием квазиупругой силы (или момента силы), т.е. силы, направленной к положению равновесия и зависящей от смещения из этого положения линейно.
Возьмем начало оси в положении равновесия. В этом положении ,
где – растяжение пружины.
Тогда, согласно основному уравнению динамики, уравнение движения маятника примет вид:
или
,
где – ускорение; .
Решение этого уравнения:
.
Пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом:
; .
3.3. Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс С тела, рис. 4.
Выберем положительное направление отсчета угла против часовой стрелки (ось проходит через точку О и направлена к нам). Тогда проекция момента силы тяжести на ось :
.
Уравнение динамики вращательного движения твердого тела примет вид:
,
или
,
или
,
где – угловое ускорение маятника относительно оси ; – момент инерции маятника относительно оси , проходящей через точку О; – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника; соответствует малым колебаниям маятника, т.е. малым отклонениям маятника из положения равновесия.
Решением дифференциального уравнения будет уравнение движения физического маятника:
.
Физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой и периодом:
; .
3.4. Математический маятник – материальная точка массы , подвешенная на невесомой нерастяжимой нити длиной , и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Математический маятник можно представить как предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре масс, момент инерции маятника (момент инерции материальной точки) , где расстояние от оси до центра масс равно длине маятника .
Период колебаний и циклическая частота математического маятника соответственно равны
и
3.5. Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, который колеблется с физическим маятником синхронно. Периоды колебаний физического и математического маятников будут одинаковы. При этом условии приведенная длина физического маятника