Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

УПРУГИЕ (МЕХАНИЧЕСКИЕ) ВОЛНЫ



Основные понятия, законы и формулы

 

8.1. Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

· Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в однородной непоглащающей среде:

или

,

где – смещение точек среды с координатой в момент времени ; – амплитуда волны; – циклическая частота волны; – начальная фаза волны (определяется выбором начала отсчета и ); – фазовая скорость (скорость распространения колебаний в среде); – волновое число.

· Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси в комплексной форме:

.

· График гармонической поперечной волны, распространяющейся со скоростью вдоль оси (рис. 13), т.е. зависимость между смещением частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием этих частиц (например, частицы от источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени .

· Фаза волны:

.

Длина волны – это расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз , другими словами, это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду:

,

где – частота колебаний .

· Волновое число:

.

· Волновой вектор – вектор , по модулю равный волновому числу и направленный вдоль луча по нормали к волновой поверхности.

· Уравнение плоской волны, распространяющейся в направлении, определяемом волновым вектором :

.

· Уравнение сферической волны:

,

где – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды; – постоянная; – амплитуда волны.

· Фазовая скорость – скорость, с которой распространяется определенное значение фазы волны:

.

· Групповая скорость – скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени, локализованный в пространстве волновой пакет, или скорость движения центра волнового пакета:

.

· Связь групповой и фазовой скоростей:

.

В недиспергирующей среде (среде, в которой фазовая скорость волн не зависит от их частоты) и .

· Интенсивность волны – величина, численно равна энергии, которую переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны:

; ,

где – среднее значение объемной плотности энергии упругой волны.

· Среднее значение объемной плотности энергии за период (или за время значительно больше периода колебаний):

.

8.2. Звуковые волны.

· Скорость звука в газах:

,

где – универсальная газовая постоянная; – молярная масса; – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и объема; – термодинамическая температура.

· Уровень интенсивности звука (в белах):

,

где – интенсивность данного звука, – интенсивность звука на пороге слышимости при стандартной частоте .

 

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

 

Пример 1.Материальная точка массой колеблется по закону (в уравнении все данные выражены в единицах СИ). Напишите уравнение для скорости и ускорения этой точки. Найдите максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

Дано: .

Найти: ; ; ; .

Решение.Выражение для скорости получим, взяв производную по времени от смещения:

(1)

или .

Из данного уравнения для координаты имеем:

, , .

Следовательно,

или

.

Выражение для ускорения получим, взяв произвольную по времени от скорости:

или

(2)

Подставляя вместо и их значения, получим:

.

Из выражения (2) видно, что , положив, что .

Тогда максимальная сила, действующая на точку, согласно второму закону Ньютона равна:

.

Подставив в это уравнение значения , , , получим:

.

Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.

Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии :

(3)

Максимальную скорость определим из формулы (1), положив, что :

.

Подставив выражение максимальной скорости в формулу энергии (3), найдем полную энергию:

.

Выполним вычисление, получим:

.

Ответ: , .

 

Пример 2. Точка совершает колебания по закону , где . Определить начальную фазу , если и . Построить векторную диаграмму для момента .

Дано: , ; , .

Найти: .

Решение. Воспользуемся уравнением движения из условия задачи и выразим смещение в момент через начальную фазу:

.

Отсюда найдем начальную фазу:

.

Подставив в это выражение заданные значения и , получим:

.

Значению аргумента удовлетворяют два значения угла:

и .

Для того чтобы решить, какое из этих значений угла удовлетворяет еще и условию , найдем сначала :

.

Подставив в это выражение значение и поочередно значения начальных фаз и , найдем:

и .

Так как всегда и , то условию удовлетворяет только первое значение начальной фазы.

Таким образом, искомая начальная фаза . По найденному значению построим векторную диаграмму
(рис. 14).

 

Пример 3.Часы, период колебаний маятника которых , на поверхности Земли идут точно. На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту над поверхностью Земли? Маятник часов считать математическим.

Дано: , , , .

Найти: .

Решение. На поверхности Земли период колебаний маятника равен:

. (1)

На высоте над Землей период колебаний маятника составит:

, (2)

где – ускорение свободного падения на этой высоте.

Число колебаний маятника за сутки на высоте равно:

,

где .

Следовательно, на высоте над Землей часы отстанут за сутки на время:

(3)

Из выражений (1) и (2) находим, что отношение периодов равно:

. (4)

Найдем зависимость ускорения свободного падения от высоты .

В поле Земли на материальную точку действует сила тяготения:

,

где – масса Земли, – радиус Земли, – масса материальной точки.

Согласно второму закону Ньютона под действием силы тяготения материальная точка получает ускорение :

.

У поверхности Земли это ускорение:

,

а на высоте над поверхностью Земли:

.

Тогда отношение периодов (4) примет вид:

. (5)

Подставив в формулу (3) выражение (5), найдем отставание часов за сутки:

. (6)

Так как , то в знаменателе выражения для можно пренебречь, с учетом этого формула (6) примет вид:

.

Выполним вычисления:

.

Ответ: .

 

Пример 4. Два неподвижных точечных заряда расположены в точках и на расстоянии друг от друга. Вдоль оси симметрии системы этих зарядов может перемещаться шарик массой , несущий точечный заряд , (рис. 15). Считая смещение отрицательного заряда от прямой , соединяющей положительные заряды, малым по сравнению с , определите период колебаний отрицательного заряда.

Дано: , , .

Найти: .

Решение. Направим ось вдоль оси симметрии системы данных зарядов (рис. 15), а начало координат совместим с серединой отрезка . Сместим заряд на небольшое расстояние от положения равновесия . Тогда на заряд со стороны зарядов начнут действовать силы и , стремящиеся вернуть заряд снова в положение равновесия (рис. 16).

Уравнение колебания заряд :

.

В проекциях на ось :

или

, (1)

т.к. .

Угол мал, то .

Модуль силы найдем по закону Кулона:

,

где – расстояние от заряда до при смещении заряда в точку .

Смещение – малая величина, а – второго порядка малости и ею можно пренебречь. Следовательно, и модуль силы примет вид:

. (2)

Заменив в выражении (1) и их значениями, получим дифференциальное уравнение колебаний заряда :

,

или

, , (3)

где .

Уравнение (3) описывает гармонические колебания, совершающиеся с циклической частотой

.

Отсюда период колебаний отрицательного заряда будет равен:

.

Ответ: .

 

Пример 5. На каком расстоянии от центра надо подвесить тонкий однородный стержень длиной , чтобы период его малых колебаний был наименьшим? Точка – центр масс данного стержня.

Дано: .

Найти: , при котором .

Решение.Стержень – физический маятник. Период колебаний физического маятника:

,

где – момент инерции стержня относительно искомой точки подвеса – точки , – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника
(рис. 17).

 

По теореме Штейнера момент инерции стержня относительно точки подвеса:

,

где – момент инерции стержня относительно центра масс , – расстояние между осью и центром масс .

Подставив это выражение в формулу для периода , получим:

.

Период будет наименьшим при условии (или при равенстве нулю производной подкоренного выражения, полученного соотношения периода колебаний):

.

Откуда

.

Ответ: .

 

Пример 6. Материальная точка участвует в четырех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:

, (1)

, (2)

, (3)

(4)

Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

Решение. Точка участвует в четырех гармонических колебаниях, так как смещения , , , являются косинусоидальными функциями времени. Результирующее колебание точки также будет гармоническим.

Сравним (1), (2), (3), (4) с общим уравнением смещения гармонических колебаний:

.

Видим, что складываемые колебания характеризуются следующими величинами: амплитуды , , . ; начальные фазы , , , ; циклические частоты .

С помощью формул:

и

можно сначала сложить любые два из четырех заданных колебаний. Затем, еще два раза применив эти формулы, найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.

К этому же результату придем быстрее, применив метод векторных диаграмм, сущность которого в том, что амплитуду и начальную фазу результирующего колебания находим путем сложения векторов. Длина каждого вектора берется равной амплитуде соответствующего колебания, а угол, образованный вектором с осью , равен начальной фазе . Величины и определяются длиной результирующего вектора и углом его наклона к оси .

Построим векторную диаграмму по данным задачи (рис. 18).

 

Результирующий вектор . Выполним сложение векторов . На векторной диаграмме амплитуда результирующего колебания (модуль вектора ) равна:

.

Из этой же векторной диаграммы находим, что

, а .

Ответ: ; .

 

Пример 7. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в некоторой среде, за время уменьшилась в . Определить коэффициент сопротивления , если масса маятника .

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение:Коэффициент сопротивления связан с коэффициентом затухания и массой тела соотношением:

.

Откуда

(1)

Чтобы найти величину , обратимся к уравнению зависимости амплитуды затухающих колебаний от времени:

(2)

Энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, обозначив начальную и конечную энергию колебаний через и , выразим отношение энергий через отношение амплитуд:

.

Откуда

.

Теперь имеем из соотношения (2):

. (3)

Логарифмируя выражение (3), находим:

; .

Подставив найденное значение в (1), получим ответ:

.

Выполним вычисления:

.

Ответ: .

 

Пример 8. Найти добротность математического маятника длиной , если за его энергия колебаний уменьшилась в .

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Прежде всего выясним, можно ли в данном случае пользоваться формулой зависимости энергии от времени , справедливой для малого затухания .

Если ~ , то из условия задачи следует, что

и ,

откуда коэффициент затухания:

. (1)

Собственная циклическая частота колебаний математического маятника:

(2)

Сравнивая с , заключаем:

.

Учитывая, что при малых затуханиях , добротность в данном случае будет:

.

Ответ: .

 

Пример 9. Груз массой , подвешенный на нити длиной , совершает колебания в жидкости. Коэффициент сопротивления . На груз действует вынуждающая сила . Определить: 1) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 2) резонансную амплитуду.

Дано: , , , .

Найти: 1) ; 2) .

Решение. Очевидно, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, является резонансной частотой:

, (1)

где – собственная частота колебаний системы; – коэффициент затухания.

Груз, подвешенный на нити, можно принять за математический маятник, тогда . Подставив и в формулу (1), найдем искомую резонансную частоту:

.

Выполним вычисление резонансной частоты:

.

Амплитуда вынужденных колебаний:

. (2)

Как видно из соотношения (2), амплитуда вынужденных колебаний зависит от циклической частоты вынуждающей силы. При значении наступает явление резонанса: амплитуда достигает максимального значения .

Величину выразим по соотношению (2), подставив из (1) вместо :

,

где – амплитудное значение вынужденной силы; – коэффициент затухания .

Выполним вычисления, учитывая, что амплитудное значение вынуждающей силы :

.

Ответ:1) ; 2) .

 

Пример 10. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью и катушки индуктивностью . Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора . Сопротивлением контура пренебречь.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение. Задачу можно решить двумя способами.

Первый способ. Если в колебательном контуре сопротивление пренебрежимо мало, то в контуре будут незатухающие колебания, совершающиеся по гармоническому закону:

. (1)

Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (1) по времени, получим уравнение для силы тока в контуре:

,

– амплитудное, т.е. максимальное значение силы тока в контуре. Подставив значение из формулы и из формулы емкости конденсатора , определим искомую величину:

.

Второй способ. В процессе незатухающих электрических колебаний полная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки , остается постоянной. При этом в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен , сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура:

. (2)

В то же время, когда конденсатор разряжен , сила тока достигает максимального значения . Тогда полная энергия контура:

. (3)

Приравняв правые части формул (2) и (3), найдем:

, .

Произведем вычисления:

.

Ответ: .

 

Пример 11. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью , конденсатора емкостью и резистора. Определить сопротивление резистора , если известно, что амплитуда силы тока в контуре уменьшилась в раз за 16 полных колебаний.

Дано: ; ; .

Найти: .

Решение.Сопротивление резистора в колебательном контуре связано с коэффициентом затухания и индуктивностью соотношениями:

, .

Чтобы найти обратимся к уравнению затухающих колебаний для амплитуды тока: ( ~ ).

Амплитуда тока уменьшается в раз за время релаксации:

.

За это время совершится колебаний. Если – период затухающих колебаний, то . Учитывая, что период затухающих колебаний:

,

где – собственная частота контура; – коэффициент затухания.

После ряда упрощений выразим число колебаний через данные в условии задачи и сопротивление :

.

Решив последнее уравнение, найдем искомое сопротивление:

.

Произведем вычисления:

.

Ответ: .

 

Пример 12. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси , в среде, непоглощающей энергию, со скоростью . Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях и от источника колебаний, колеблются с разностью фаз . Амплитуда волны .

Определить: 1) длину волны; 2) уравнение волны; 3) смещение первой точки в момент времени .

Дано: , , , , , .

Найти: 1) ; 2) ; 3) .

Решение.Разность фаз колебаний двух точек волны в данный момент времени :

,

где – волновое число; – расстояние между двумя точками, находящимися на луче волны в один и тот же момент времени.

Из полученной формулы связи разности фаз с расстоянием между двумя точками на луче, находим длину волны:

.

Циклическая частота , где .

Следовательно, .

Уравнение плоской упругой волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси :

. (2)

Чтобы найти смещение , надо в уравнение (2) подставить значения и .

Выполним вычисления:

;

;

.

Ответ: ; .

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.