8.1. Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.
· Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси в однородной непоглащающей среде:
или
,
где – смещение точек среды с координатой в момент времени ; – амплитуда волны; – циклическая частота волны; – начальная фаза волны (определяется выбором начала отсчета и ); – фазовая скорость (скорость распространения колебаний в среде); – волновое число.
· Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси в комплексной форме:
.
· График гармонической поперечной волны, распространяющейся со скоростью вдоль оси (рис. 13), т.е. зависимость между смещением частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием этих частиц (например, частицы от источника колебаний для какого-то фиксированного момента времени .
· Фаза волны:
.
Длина волны – это расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз , другими словами, это расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду:
,
где – частота колебаний .
· Волновое число:
.
· Волновой вектор – вектор , по модулю равный волновому числу и направленный вдоль луча по нормали к волновой поверхности.
где – расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды; – постоянная; – амплитуда волны.
· Фазовая скорость – скорость, с которой распространяется определенное значение фазы волны:
.
· Групповая скорость – скорость движения группы волн, образующих в каждый момент времени, локализованный в пространстве волновой пакет, или скорость движения центра волнового пакета:
.
· Связь групповой и фазовой скоростей:
.
В недиспергирующей среде (среде, в которой фазовая скорость волн не зависит от их частоты) и .
· Интенсивность волны – величина, численно равна энергии, которую переносит волна за единицу времени через единицу площади поверхности, расположенной перпендикулярно к направлению распространения волны:
; ,
где – среднее значение объемной плотности энергии упругой волны.
· Среднее значение объемной плотности энергии за период (или за время значительно больше периода колебаний):
.
8.2. Звуковые волны.
· Скорость звука в газах:
,
где – универсальная газовая постоянная; – молярная масса; – отношение молярных теплоемкостей газа при постоянном давлении и объема; – термодинамическая температура.
· Уровень интенсивности звука (в белах):
,
где – интенсивность данного звука, – интенсивность звука на пороге слышимости при стандартной частоте .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1.Материальная точка массой колеблется по закону (в уравнении все данные выражены в единицах СИ). Напишите уравнение для скорости и ускорения этой точки. Найдите максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.
Дано: .
Найти: ; ; ; .
Решение.Выражение для скорости получим, взяв производную по времени от смещения:
(1)
или .
Из данного уравнения для координаты имеем:
, , .
Следовательно,
или
.
Выражение для ускорения получим, взяв произвольную по времени от скорости:
или
(2)
Подставляя вместо и их значения, получим:
.
Из выражения (2) видно, что , положив, что .
Тогда максимальная сила, действующая на точку, согласно второму закону Ньютона равна:
.
Подставив в это уравнение значения , , , получим:
.
Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента времени.
Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинетическая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии :
(3)
Максимальную скорость определим из формулы (1), положив, что :
.
Подставив выражение максимальной скорости в формулу энергии (3), найдем полную энергию:
.
Выполним вычисление, получим:
.
Ответ: , .
Пример 2. Точка совершает колебания по закону , где . Определить начальную фазу , если и . Построить векторную диаграмму для момента .
Дано: , ; , .
Найти: .
Решение. Воспользуемся уравнением движения из условия задачи и выразим смещение в момент через начальную фазу:
.
Отсюда найдем начальную фазу:
.
Подставив в это выражение заданные значения и , получим:
.
Значению аргумента удовлетворяют два значения угла:
и .
Для того чтобы решить, какое из этих значений угла удовлетворяет еще и условию , найдем сначала :
.
Подставив в это выражение значение и поочередно значения начальных фаз и , найдем:
и .
Так как всегда и , то условию удовлетворяет только первое значение начальной фазы.
Таким образом, искомая начальная фаза . По найденному значению построим векторную диаграмму (рис. 14).
Пример 3.Часы, период колебаний маятника которых , на поверхности Земли идут точно. На сколько будут отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту над поверхностью Земли? Маятник часов считать математическим.
Дано: , , , .
Найти: .
Решение. На поверхности Земли период колебаний маятника равен:
. (1)
На высоте над Землей период колебаний маятника составит:
, (2)
где – ускорение свободного падения на этой высоте.
Число колебаний маятника за сутки на высоте равно:
,
где .
Следовательно, на высоте над Землей часы отстанут за сутки на время:
(3)
Из выражений (1) и (2) находим, что отношение периодов равно:
. (4)
Найдем зависимость ускорения свободного падения от высоты .
В поле Земли на материальную точку действует сила тяготения:
,
где – масса Земли, – радиус Земли, – масса материальной точки.
Согласно второму закону Ньютона под действием силы тяготения материальная точка получает ускорение :
.
У поверхности Земли это ускорение:
,
а на высоте над поверхностью Земли:
.
Тогда отношение периодов (4) примет вид:
. (5)
Подставив в формулу (3) выражение (5), найдем отставание часов за сутки:
. (6)
Так как , то в знаменателе выражения для можно пренебречь, с учетом этого формула (6) примет вид:
.
Выполним вычисления:
.
Ответ: .
Пример 4. Два неподвижных точечных заряда расположены в точках и на расстоянии друг от друга. Вдоль оси симметрии системы этих зарядов может перемещаться шарик массой , несущий точечный заряд , (рис. 15). Считая смещение отрицательного заряда от прямой , соединяющей положительные заряды, малым по сравнению с , определите период колебаний отрицательного заряда.
Дано: , , .
Найти: .
Решение. Направим ось вдоль оси симметрии системы данных зарядов (рис. 15), а начало координат совместим с серединой отрезка . Сместим заряд на небольшое расстояние от положения равновесия . Тогда на заряд со стороны зарядов начнут действовать силы и , стремящиеся вернуть заряд снова в положение равновесия (рис. 16).
Уравнение колебания заряд :
.
В проекциях на ось :
или
, (1)
т.к. .
Угол мал, то .
Модуль силы найдем по закону Кулона:
,
где – расстояние от заряда до при смещении заряда в точку .
Смещение – малая величина, а – второго порядка малости и ею можно пренебречь. Следовательно, и модуль силы примет вид:
. (2)
Заменив в выражении (1) и их значениями, получим дифференциальное уравнение колебаний заряда :
,
или
, , (3)
где .
Уравнение (3) описывает гармонические колебания, совершающиеся с циклической частотой
.
Отсюда период колебаний отрицательного заряда будет равен:
.
Ответ: .
Пример 5. На каком расстоянии от центра надо подвесить тонкий однородный стержень длиной , чтобы период его малых колебаний был наименьшим? Точка – центр масс данного стержня.
Дано: .
Найти: , при котором .
Решение.Стержень – физический маятник. Период колебаний физического маятника:
,
где – момент инерции стержня относительно искомой точки подвеса – точки , – расстояние от точки подвеса до центра масс маятника (рис. 17).
По теореме Штейнера момент инерции стержня относительно точки подвеса:
,
где – момент инерции стержня относительно центра масс , – расстояние между осью и центром масс .
Подставив это выражение в формулу для периода , получим:
.
Период будет наименьшим при условии (или при равенстве нулю производной подкоренного выражения, полученного соотношения периода колебаний):
.
Откуда
.
Ответ: .
Пример 6. Материальная точка участвует в четырех колебаниях, происходящих по одной прямой и выраженных уравнениями:
, (1)
, (2)
, (3)
(4)
Определите амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.
Решение. Точка участвует в четырех гармонических колебаниях, так как смещения , , , являются косинусоидальными функциями времени. Результирующее колебание точки также будет гармоническим.
Сравним (1), (2), (3), (4) с общим уравнением смещения гармонических колебаний:
можно сначала сложить любые два из четырех заданных колебаний. Затем, еще два раза применив эти формулы, найти амплитуду и начальную фазу результирующего колебания.
К этому же результату придем быстрее, применив метод векторных диаграмм, сущность которого в том, что амплитуду и начальную фазу результирующего колебания находим путем сложения векторов. Длина каждого вектора берется равной амплитуде соответствующего колебания, а угол, образованный вектором с осью , равен начальной фазе . Величины и определяются длиной результирующего вектора и углом его наклона к оси .
Построим векторную диаграмму по данным задачи (рис. 18).
Пример 7. Энергия затухающих колебаний маятника, происходящих в некоторой среде, за время уменьшилась в . Определить коэффициент сопротивления , если масса маятника .
Дано: ; ; .
Найти: .
Решение:Коэффициент сопротивления связан с коэффициентом затухания и массой тела соотношением:
.
Откуда
(1)
Чтобы найти величину , обратимся к уравнению зависимости амплитуды затухающих колебаний от времени:
(2)
Энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, обозначив начальную и конечную энергию колебаний через и , выразим отношение энергий через отношение амплитуд:
.
Откуда
.
Теперь имеем из соотношения (2):
. (3)
Логарифмируя выражение (3), находим:
; .
Подставив найденное значение в (1), получим ответ:
.
Выполним вычисления:
.
Ответ: .
Пример 8. Найти добротность математического маятника длиной , если за его энергия колебаний уменьшилась в .
Дано: ; ; .
Найти: .
Решение. Прежде всего выясним, можно ли в данном случае пользоваться формулой зависимости энергии от времени , справедливой для малого затухания .
Учитывая, что при малых затуханиях , добротность в данном случае будет:
.
Ответ: .
Пример 9. Груз массой , подвешенный на нити длиной , совершает колебания в жидкости. Коэффициент сопротивления . На груз действует вынуждающая сила . Определить: 1) частоту вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна; 2) резонансную амплитуду.
Дано: , , , .
Найти: 1) ; 2) .
Решение. Очевидно, что частота вынуждающей силы, при которой амплитуда вынужденных колебаний максимальна, является резонансной частотой:
, (1)
где – собственная частота колебаний системы; – коэффициент затухания.
Груз, подвешенный на нити, можно принять за математический маятник, тогда . Подставив и в формулу (1), найдем искомую резонансную частоту:
.
Выполним вычисление резонансной частоты:
.
Амплитуда вынужденных колебаний:
. (2)
Как видно из соотношения (2), амплитуда вынужденных колебаний зависит от циклической частоты вынуждающей силы. При значении наступает явление резонанса: амплитуда достигает максимального значения .
Величину выразим по соотношению (2), подставив из (1) вместо :
,
где – амплитудное значение вынужденной силы; – коэффициент затухания .
Выполним вычисления, учитывая, что амплитудное значение вынуждающей силы :
.
Ответ:1) ; 2) .
Пример 10. Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью и катушки индуктивностью . Определить максимальную силу тока в контуре, если максимальная разность потенциалов на обкладках конденсатора . Сопротивлением контура пренебречь.
Дано: ; ; .
Найти: .
Решение. Задачу можно решить двумя способами.
Первый способ. Если в колебательном контуре сопротивление пренебрежимо мало, то в контуре будут незатухающие колебания, совершающиеся по гармоническому закону:
. (1)
Сила тока есть производная от заряда по времени. Поэтому, дифференцируя обе части (1) по времени, получим уравнение для силы тока в контуре:
,
– амплитудное, т.е. максимальное значение силы тока в контуре. Подставив значение из формулы и из формулы емкости конденсатора , определим искомую величину:
.
Второй способ. В процессе незатухающих электрических колебаний полная энергия контура, равная сумме энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки , остается постоянной. При этом в те моменты, когда конденсатор максимально заряжен , сила тока равна нулю. Следовательно, полная энергия контура:
. (2)
В то же время, когда конденсатор разряжен , сила тока достигает максимального значения . Тогда полная энергия контура:
. (3)
Приравняв правые части формул (2) и (3), найдем:
, .
Произведем вычисления:
.
Ответ: .
Пример 11. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью , конденсатора емкостью и резистора. Определить сопротивление резистора , если известно, что амплитуда силы тока в контуре уменьшилась в раз за 16 полных колебаний.
Дано: ; ; .
Найти: .
Решение.Сопротивление резистора в колебательном контуре связано с коэффициентом затухания и индуктивностью соотношениями:
, .
Чтобы найти обратимся к уравнению затухающих колебаний для амплитуды тока: ( ~ ).
Амплитуда тока уменьшается в раз за время релаксации:
.
За это время совершится колебаний. Если – период затухающих колебаний, то . Учитывая, что период затухающих колебаний:
,
где – собственная частота контура; – коэффициент затухания.
После ряда упрощений выразим число колебаний через данные в условии задачи и сопротивление :
.
Решив последнее уравнение, найдем искомое сопротивление:
.
Произведем вычисления:
.
Ответ: .
Пример 12. Плоская синусоидальная волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси , в среде, непоглощающей энергию, со скоростью . Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях и от источника колебаний, колеблются с разностью фаз . Амплитуда волны .
Определить: 1) длину волны; 2) уравнение волны; 3) смещение первой точки в момент времени .
Дано: , , , , , .
Найти: 1) ; 2) ; 3) .
Решение.Разность фаз колебаний двух точек волны в данный момент времени :
,
где – волновое число; – расстояние между двумя точками, находящимися на луче волны в один и тот же момент времени.
Из полученной формулы связи разности фаз с расстоянием между двумя точками на луче, находим длину волны:
.
Циклическая частота , где .
Следовательно, .
Уравнение плоской упругой волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси :
. (2)
Чтобы найти смещение , надо в уравнение (2) подставить значения и .