 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Подведение функции под знак дифференциалаСтр 1 из 42Следующая ⇒
Как можно отблагодарить автора?
Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами: – Подведение функции под знак дифференциала; По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая.
Подведение функции под знак дифференциала На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решениймы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил: То есть, раскрыть дифференциал – это формально почти то же самое, что найти производную. Пример 1 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: Подводим функцию Раскрывая дифференциал, легко проверить, что: Фактически Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: Формула Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: «Мне надо решить интеграл
Теперь можно пользоваться табличной формулой
Единственное отличие, у нас не буква «икс», а сложное выражение Выполним проверку. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции Пример 2 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Анализируем подынтегральную функцию. Здесь у нас дробь, причем в знаменателе линейная функция (с «иксом» в первой степени). Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: Подводим функцию Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: Проверка: Пример 3 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока. Пример 4 Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока. При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:
И так далее. В конце данного параграфа хотелось бы еще остановиться на «халявном» случае, когда в линейной функции переменная Строго говоря, решение должно выглядеть так: Как видите, подведение функции
Поиск по сайту: |
. Но проблема заключается в том, что у нас под синусом не просто буковка «икс», а сложное выражение. Что делать?
под знак дифференциала:
– это запись одного и того же.
? Почему так, а не иначе?
, но и для любого сложного выражения ЛИШЬ БЫ АРГУМЕНТ ФУНКЦИИ( 
– в нашем примере) И ВЫРАЖЕНИЕ ПОД ЗНАКОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛА БЫЛИОДИНАКОВЫМИ.
, тогда 
. Но в исходном интеграле 
множителя-тройки нет, поэтому, чтобы подынтегральная функция не изменилась, мне надо ее домножить на 
». В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:
. По сути дела подведение функции под знак дифференциала и
.
под знак дифференциала:
. Ага, получается 
, значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на 
. 
под знак дифференциала прошло «безболезненно», без всяких домножений. Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что 
. Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! Поскольку интеграла