Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Метод выделения полного квадрата



Интегралы вида , (коэффициенты и не равны нулю) решаютсяметодом выделения полного квадрата, который уже фигурировал на урокеГеометрические преобразования графиков.

На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

или

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения либо , а затем преобразовать их соответственно в либо .

Пример 9

Найти неопределенный интеграл

Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю . Начинаем преобразование знаменателя:

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

Теперь можно применить формулу :

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход: , всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала: , в принципе, можно было пренебречь

Пример 10

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Пример 11

Найти неопределенный интеграл:

Что делать, когда перед находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке: . Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:

Тут получилась формула , применяем:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:
, что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Усложняем задачу

Пример 12

Найти неопределенный интеграл:

Здесь при слагаемом уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сведется к формуле . Надо разобраться в слагаемом , а именно, получить «двойку»

(4) Ага, . Значит, к выражению прибавляем , и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить , но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма , и действие выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу , только вместо «икс» у нас , что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию следовало подвести под знак дифференциала: , но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.

Пример 13

Найти неопределенный интеграл:

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.