Определение модуля сдвига методом кручения

I. Краткая теория.

п.1 Деформация сдвига. Рассмотрим куб из однородного и изотропного вещества. Рис.1а. Если нижнюю грань куба CDGH закрепить, а к верхней ABKE приложить равномерно распределенную по поверхности касательную силу , то верхняя грань сместится относительно нижней, т.е. куб деформируется. Для малых деформаций можно считать, что объем куба остался неизменным. Такого рода деформацию называют деформацией сдвига. Степень деформированности тела можно описать отношением AA’/AC, которое при малых деформациях численно равно углу , рис. 1б. Для малых деформаций закон Гука можно записать в виде:

(1)

- касательное напряжение, равное

- постоянная величина, называемая модулем сдвига.

Для упругих деформаций выполняется закон сохранения механической энергии, т.е. работа, затрачиваемая на деформирование упругого тела, пойдет на увеличение упругой энергии тела.

При смещении верхней грани АВКЕ рис. 1б совершается работа

(2)

где - площадь грани куба, - смещение верхней грани, равное . Таким образом, работа, затрачиваемая на деформирование тела, равна , где - объем куба. Отсюда объемная плотность упругой энергии с учетом (1) определяется соотношениями

(3)

п.2 Кручение. В предыдущем случае была рассмотрена такая деформация тела, при которой все его бесконечно малые элементы деформированы одинаковым образом, т.е. однородная деформация. Кручение, представляет собой неоднородную деформацию.

Возьмем однородный стержень длиной и радиуса с закрепленным одним концом. К другому концу приложим силы, создавшие момент относительно оси стержня. Закон Гука для деформации стержня запишется в виде

(4)

где - модуль кручения стержня, зависящий не только от материала стержня, но и его геометрических размеров, - угол, на который поворачивается незакрепленный конец стержня, относительно закрепленного. Модуль кручения связан с модулем сдвига соотношением:

(5)

Из формулы (4), учитывая (5) можно получить формулу для определения модуля сдвига

(6)

Таким образом, для экспериментального определения модуля сдвига вещества, из которого изготовлен стержень, необходимо закрепить один его конец, а к другому приложить силы, создающие момент . Измерив предварительно длину стержня и его радиус, а также угол закручивания незакрепленного конца стержня относительно закрепленного, по формуле (6) можно рассчитать модуль сдвига .

II. Описание прибора.

Схема прибора для определения модуля сдвига показана на рис.2. Один конец исследуемого стержня 1 жестко закреплен посредством винтов 3 в неподвижной муфте 2. Второй конец стержня винтами 3 жестко прикреплен к валу 4, который может свободно вращаться относительно жестко закрепленного диска 5 с измерительной шкалой для отсчета угла закручивания стержня. На валу 4 жестко закреплен диск 6, к которому с помощью винта крепится одним концом нить 7, к другому прикреплена платформа на которой устанавливается масса . Момент сил, действующих на стержень, определяется по формуле , - радиус диска.

Замена исследуемого стержня производится посредством ослабления зажима на муфте 2 к валу 4, причем сначала закрепляем стержень к муфте, а затем, устанавливая стрелку на диске 6 вертикально, закрепляем стержень к валу. После чего к стрелке подводим ноль на шкале диска 5.

III. Измерения и обработка результатов.

1. Измерить рабочую длину стержня .
2. Микрометром измерить диаметр стержня не менее 10 раз (в разных местах).
3. Установить груз m на платформе, измерить угол закручивания стержня . Для каждой массы намерения проводить не менее 5 раз.
4. Измерения для угла закручивания стержня провести для 6 грузов массами от 0,5 кг до 3 кг, и построить график зависимости угла закручивания от момента сил .
5. Из полученного графика выбрать значение момента сил и соответствующий этому значению угол (выбор производить так, чтобы значение, момента сил было не слишком маленьким). Для данных значений момента сил и угла рассчитать модуль сдвига . Определить абсолютную и относительную погрешность измерения.
6. Измерения и расчеты произвести для двух стержней разной длины. График зависимости от обоих стержней построить на одних осях.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.

1. Что такое упругие и пластические деформации?
2. Выполняется ли закон сохранения механической энергии деформациях?
3. Какова плотность энергии упругой деформации?
4. Какова связь между модулем кручения и модулем сдвига?

ЛИТЕРАТУРА

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика. – М.: Наука, 1979, с. 394—398.
2. Стрелков СП. Механика. - М.: Наука.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

I. Краткая теория.

Поиск по сайту: