Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда



Определение. Знакочередующийся ряд – ряд, у которого любые рядом стоящие члены имеют противоположные знаки.

Теорема. Если в знакочередующемся ряде члены таковы, что и то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Доказательство. Рассмотрим сумму первых членов исходного ряда: Так как выражения в скобках положительные. Следовательно, и возрастает с возрастанием

Запишем сумму в другом виде: Каждая скобка здесь также положительна. В результате вычисления получим число, меньшее то есть

Таким образом: S возрастает с возрастанием m и ограничена сверху. причем

Теперь докажем, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S. Для этого выражается и аналогично записывается предел

Следовательно, ряд сходится.

Замечание. Теорема Лейбница справедлива, еси неравенства выполняются, начиная с некоторого N.

 

 

Абсолютная сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

Определение.Если ряд сходится, то говорят, что ряд сходится абсолютно. Если сходится, но расходится, то говорят, что ряд сходится условно.

Теорема. Если ряд сходится, то и ряд сходится.

Доказательство.Запишем ряды почленно

1.

2.

Пусть -сумма первого ряда, -сумма второго ряда. -сумма всех положительных, - сумма абсолютных величин.

равняется разности и , -их сумме.

По условию имеет предел

и - положительные возрастающие величины, меньшие .

Они имеют пределы и .

имеет предел . Ряд сходится.

Замечание. Если ряд сходится абсолютно, при любой перестановке его членов новый ряд будет по-прежнему сходиться и иметь ту же сумму.Если же ряд сходится условно, то всегда можно найти такую перестановку, что новый ряд будет сходиться к любому числу или даже станет расходящимся.

Для исследования абсолютной сходимости часто применяются признаки Коши и Даламбера, которые в этом случае имеют следующий вид.

Теорема (признак Даламбера).Если в ряде с положительными членами отношение последующего члена к предыдущему при имеет предел, т.е. то:

1.ряд АБСОЛЮТНО сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Теорема (признак Коши).Если в ряде с положительными членами величина имеет предел при , т.е. то:

1. ряд АБСОЛЮТНО сходится, при l<1,

2. ряд расходится при l>1.

Примечание автора. Доказательств двух последних теорем приведены в ответах на предыдущие вопросы.

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.