Определение. Если существует конечный предел то этот предел называют несобственным интегралом от функции на промежутке и обозначают так
Пусть определена и непрерывна при а при функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя говорить об интеграле как о пределе интегральных сумм, так как непрерывна на отрезке поэтому предел может и не существовать.
Интеграл от функции, терпящей разрыв в точке c, определяется следующим образом:
Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл несобственный сходящийся, иначе расходящийся.
Если функция имеет разры в левом конце отрезка то по определению
Если разрыв в некоторой точке (внутри отрезка), то полагают (если оба стоящих справа интеграла существуют).
Замечание. Если функция. определенная на отрезке имеет внутри отрезка конечное число точек разрыва то интеграл определяется так: (если каждый из интегралов в правой части сходится). Если же хотя бы один из них расходится, то - расходящийся.
Для определения сходимости несобственных интегралов от различных функций могут быть применены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами.
Теорема1. Если на отрезке функции и разрывны в точке с, причем во всех точках выполняется и если сходится, то сходится и
Теорема2. Если на отрезке функции и разрывны в точке с, причем во всех точках выполняется и если расходится, то расходится и
Теорема3.Если - функция знакопеременная на отрезке разрывная только в точке с, и несобственный интеграл от абсолютной величины этой функции сходится, то сходится также интеграл от самой функции.
_________________________________________
В качестве функции, с которыми сравнивают функции под знаком интеграла, часто берут (при интеграл сходится, при расходится).
Интеграл, зависящий от параметра.
Определение.Функция называется интегралом, зависящим от параметра
При изменении параметра меняется значение интеграла. Это и доказывает, что интеграл, зависящий от параметра – функция.
Доказательство. Предположим, что и есть непрерывные функции. Найдем производную по параметру х.
А это и есть
Или все это можно представить в другой форме – формула Лейбница
Гамма-функция.
Определение.Функция на промежутке
Интеграл, определяющий гамма-функцию, несобственный по бесконечному промежутку. При подынтегральная функция терпит разрыв при
Теорема. Гамма-функция определена и непрерывна для любых
Доказательство. Разобьем интеграл на сумму двух интегралов:
Рассмотрим Для любого существует что Тогда для любого и для любого x из окрестности выполняется неравенство
Функция интегрируема на этом отрезке. Следовательно, для любого интеграл сходится и функция непрерывна при любом
Рассмотрим Из формулы Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
При для любого Подберем n так, чтобы Значит при справедливо неравенство
Функция интегрируема на отрезке. Следовательно, при любом интеграл сходится и функция непрерывна при любом