Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки



Первообразная и неопределенный интеграл.

Первообразная. Функция F(x) называется первообразнойот функции f(x) на отрезке [a,b], если во всех точках выполняется равенство F¢(x) = f(x).

Так как С-произвольная постоянная, у любой функции бесчисленное множество первообразных.

Теорема. Если F1(x) и F2(x) – 2 первообразные от функции f(x) на отрезке [a,b], то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. Пусть F¢1(x) = f(x) и F¢2(x) = f(x). Таким образом F¢1(x) = F¢2(x). Рассмотрим производную разности

(F1(x) – F2(x))¢ = F¢1(x) - F¢2(x) = 0.

Производная разности двух функций равна нулю, следовательно, эти функции отличаются друг от друга на константу, ч. т. д.

Следствие. Если для данной функции f(x) найдена какая-нибудь одна первообразная F(x), то любая другая первообразная для f(x) имеет вид F(x)+C.

Неопределенный интеграл. Если функция F(x) является первообразной для f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Таким образом,

f(x) – подынтегральная функция, f(x) dx – подынтегральное выражение.

Из определения неопределенного интеграла следует:

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F¢(x) = f(x),то и

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

с точностью до постоянного слагаемого.

 

Свойства неопределенного интеграла.

Теорема1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.

Доказательство.Найдем производные от левой и правой части равенства. Так как они равны, по теореме о том, что любая функция, стоящая в левой части, отличается от любой функции, стоящей в правой части, на постоянное слагаемое.

Теорема2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а=const, тогда

Доказательство.Найдем производные от левой и правой частей -

Они равны. Как и в теореме1, разность двух функций – есть постоянная.

___

При вычислении неопределенных интегралов полезно знать следующие правила:

1.

2.

3.

 

Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки.

Требуется найти òf(x)dx. Делаем замену x = j(t). Получаем òf(x)dx = òf(j(t))j¢(t)dt.

Для того, чтобы подтвердить, что эти выражения равны, можно взять производные от левой и правой частей. Они равны.

Интегрирование по частям.Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. Тогда d(uv) = udv + vdu. Отсюда получаем Или

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

 

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.