3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
с точностью до постоянного слагаемого.
Свойства неопределенного интеграла.
Теорема1. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов.
Доказательство.Найдем производные от левой и правой части равенства. Так как они равны, по теореме о том, что любая функция, стоящая в левой части, отличается от любой функции, стоящей в правой части, на постоянное слагаемое.
Теорема2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если а=const, тогда
Доказательство.Найдем производные от левой и правой частей -
Они равны. Как и в теореме1, разность двух функций – есть постоянная.
___
При вычислении неопределенных интегралов полезно знать следующие правила:
1.
2.
3.
Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки.
Требуется найти òf(x)dx. Делаем замену x = j(t). Получаем òf(x)dx = òf(j(t))j¢(t)dt.
Для того, чтобы подтвердить, что эти выражения равны, можно взять производные от левой и правой частей. Они равны.
Интегрирование по частям.Пусть u и v – непрерывно дифференцируемые функции от x. Тогда d(uv) = udv + vdu. Отсюда получаем Или
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.