Площа поверхні обертання

Площа поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох дуги кривої знаходиться за формулою:

Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох кривої:

1) від х = 1 до х = 7.

2) y = tgx від x = 1 до x = a (a > 1)

3) y = sinx (однієї напівхвилі)

4) (a > b)

5) 9y² = x(3-x)² від х = 0 до х = 3.

Застосування визначеного інтеграла для розв’язування фізичних задач

1. Шлях, пройдений точкою.

Якщо точка рухається по деякій кривій і абсолютна величина її швидкості є функцією від часу t, то шлях точки, пройдений за час знаходиться за формулою:

2. Робота сили.

Якщо змінна сила F = f(x) діє в напрямі осі Ох, то на проміжку робота цієї сили:

3. Статичні моменти дуги кривої.

Якщо маса рівномірно розподілена по дузі кривої y = f(x), (з лінійною густиною ρ = 1), то статичні моменти Mx і My цієї дуги відносно осей Ох і Оу знаходяться за формулами:

4. Центр ваги дуги кривої:

5. Статичні моменти криволінійної трапеції.

Статичні моменти Мх і Му криволінійної трапеції, обмеженої кривою y=f(x), віссю Ох і двома вертикалями х = х₁ і х = х₂ обчислюються за формулами:

6. Центр ваги криволінійної трапеції.

Координати центра ваги криволінійної трапеції (маса розподілена рівномірно, лінійна густина ρ = 1) з такими ж заданими умовами (п.4) знаходяться так:

Розв’язати задачі:

1. Швидкість точки задається формулою м/с. Знайти шлях, пройдений точкою за перші 10 сек. Після початку руху.

2. Два електричних заряди знаходяться на осі Ох відповідно в точках х₀ = 0 і х₁ = 1 см. Яку роботу буде виконано, якщо другий заряд переміститься в точку х₂ = 10 см _?

3. Вертикальна гребля має форму трапеції. Обчислити силу тиску води на греблю, якщо відомо, що верхня основа греблі a = 70 м., нижня основа b = 50 м., висота греблі h = 20 м. ( Прим. Для обчислення сили тиску рідини використовують закон Паскаля: , де Р – сила тиску рідини на площадку площею S, δ – густина рідини, h – глибина занурення, g – прискорення сили тяжіння).

4. Обчислити статичні моменти відносно осей Ох і Оу і координати центра ваги відрізка прямої ,який знаходиться між осями координат.

5. Обчислити статичні моменти відносно осей Ох і Оу і координати центра ваги фігури, обмеженою синусоїдою y = sinx і відрізком осі Ох від точки х = 0 до точки х = π.

Невласний інтеграл

1. Інтеграли с нескінченими межами інтегрування.

Якщо функція y = f(x) неперервна при , то невласний інтеграл с нескінченою верхньою границею інтегрування знаходиться за формулою:

(1)

за аналогією, інтеграли:

(2)

(3)

Приклад. Обчислити

Розв’язання:

Невласний інтеграл називається збіжним, якщо існує границя в правій частині рівностей (1-3). Якщо вказана границя не існує, невласний інтеграл називається розбіжним.

2. Інтеграл від необмежених функцій.

Якщо функція y = f(x) не обмежена в будь - якому околі точки з відрізка [a;b] і неперервна при і , то:

де α і β змінюються незалежно одне від одного. У випадку c = b або с = а отримуємо:

або

Невласний інтеграл від необмеженої функції називається збіжним або розбіжним в залежності від того, існують чи ні скінчені границі відповідних визначених інтегралів.

Приклад 1. Обчислити інтеграл або встановити його розбіжність.

Розв’язання:

Приклад 2. Обчислити інтеграл або встановити його розбіжність:

Розв’язання:

Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність:

Завдання для домашньої роботи:

§1.Обчислити визначені інтеграли:

§ 2.Обчислити визначені інтеграли:

§ 3.Обчислити визначені інтеграли:

§ 4.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

§ 5.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

§ 6.Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями:

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями:

§ 7. Знайти довжину дуги кривої:

від точки до точки .

від точки с абсцисою х = 0 до точки з абсцисою х = 12.

§8. Площа поверхні обертання.

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями:

Поиск по сайту: