Обчислення площ плоских фігур

Якщо криволінійна трапеція обмежена віссю Ох, прямими х = а, x = b (a > b) і неперервною кривою y = f(x), тоді:

а). Якщо на [ a;b], то

б). Якщо на [a;b], то

Якщо плоска фігура обмежена неперервними на [ a;b] кривими y = f₁(x) та y = f₂(x), де і прямими x = a, x = b, то

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y² = 9x, y = 3x.

1. Зробимо малюнок:

y = 3x – пряма лінія

y² = 9x - парабола.

2. Знаходимо границі інтегрування:

y = 3x 3x = 3

y = 3

3. Знаходимо площу фігури:

Обчислити площу фігури, обмеженої вказаними лініями:

Площа в полярних координатах

Якщо неперервна крива задана в полярних координатах рівнянням ρ= ρ(φ), то площа сектора, обмеженого дугою кривої і двома полярними радіусами, які відповідають значенням , буде виражена інтегралом:

Приклад. Знайти площу, яка знаходиться всередині лінії (ламініската Бернуллі).

Зробимо малюнок:

Враховуючи симетрію фігури,можна знайти площу четвертоїчастини фігури:

Звідси: S = a²(кв. од.)

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

Об’єми тіл обертання

Об’єми тіл, утворених обертанням криволінійної трапеції, обмеженої кривою у =f(x) віссю Ох і двома вертикалями x = a ; x = b навколо осей Ох і Оу виражаються формулами:

або

Приклад №1.

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями: ху = 4, х = 0; у = 1; у = 6.

Розв’язання: Зробимо малюнок.

- гіпербола.

хy = 4, тобто .

.

Виконати завдання:

1. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох еліпса 4х²+9у²-36 = 0.

2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями: 3х-2у+6 = 0, х = 1, у = 0.

3. Обчислити об’єм фігури, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями: у = -х²+4, х = 0, у = 0, у = 3.

4. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями: у = х², 2х –у = 0.

5. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями: .

Довжина дуги кривої

Довжина дуги гладкої кривої між двома точками з абсцисами і знаходиться за формулою:

Якщо гладка крива задана рівнянням в полярних координатах, то довжина дуги дорівнює:

,

де α і β – значення полярного кута в крайніх точках (α<β).

Приклад. Знайти довжину дуги кривої між точками x = 0 і .

Оскільки ,

, то

Знайти довжину дуги кривої:

1) y² = x³ від початку координат до точки В(4;8).

2) y = arcsin(e^-x) від х = 0 до х =1.

3) між точками перетину лінії з віссю Ох.

4) (всієї лінії).

5) (всієї лінії).

6) 9y² = x(x-3)² між точками перетину з віссю Ох.

Поиск по сайту: