Определение погрешностей при косвенных измерениях

В тех случаях, когда физическая величина не может быть изменена непосредственно, прибегают к косвенным измерениям.

Пусть для нахождения величины N пришлось измерить какие-то величины x, y, z. Величины N, x, y, z связаны функциональной зависимостью N=f(x, y, z).

В этом случае средняя абсолютная ошибка может быть найдена по правилам дифференцирования, если значок дифференциала d заменить значком ошибки и выбрать знаки таким образом, чтобы величина ошибки была максимальной, т.е.

и

Пример 1. Объем цилиндра

, т. е. V=f(R; H).

В этом случае

Абсолютная ошибка

Пример 2. Ускорение свободного падения g вычисляется по формуле

т. е.

(В частном случае, когда N=f(x) формула принимает вид:

т.е. абсолютная ошибка функции равна абсолютной ошибке аргумента, умноженной на производную этой функции).

Относительная погрешность находится по формуле, т.е.

а так как дифференциал натурального логарифма

то

или

Таким образом, относительная ошибка результата равна полному дифференциалу натурального логарифма функции, определяющей зависимость данной величины от измеряемых величин. При вычислении надо брать сумму абсолютных значений дифференциалов всех членов логарифма (все частные ошибки складываются) с заменой значков d значком .

Пример 3. Момент инерции тела J определяется методом крутильных колебаний. Расчетная формула имеет вид:

Где J=f(m, a, r, T, T ).

Найти формулы абсолютной и относительной ошибок результата. Для этого найдем сначала относительную ошибку

а) прологарифмуем выражение для J :

б) возьмем дифференциал натурального логарифма и сгруппируем члены, содержащие одинаковый дифференциал (выражения в скобках, стоящие перед дифференциалами, берут по модулю):

в) Заменив знак d на и все минусы перед дифференциалами на плюсы, получим

Абсолютная ошибка т. е.

Истинное значение момента инерции выразим по формуле:

Определение погрешностей для косвенных измерений удобно проводить по следующим этапам:

Вычисляем относительную ошибку измерения

Для этого следует:

а) прологарифмировать расчетную формулу;

б) найти от логарифма полный дифференциал;

в) сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом, взять по модулю;

г) Заменить все дифференциалы d независимых переменных ошибками измерений , а все минусы перед дифференциалами заменить плюсами, так как все частные ошибки складываются.

Пример 4.

x=f(a; b).

1. Находим относительную ошибку по пунктам:

a)

б)

в)

г)

2. Вычисляем по расчетной формуле средний результат х.

3. По формуле находим абсолютную ошибку измерения

4. Окончательное значение истинной величины будет

Вычислительную работу рекомендуется производить, делая округления по правилам приближенных чисел. Необходимо твердо помнить, что точность результата определяется точностью измерительных приборов и тщательностью исходных измерений и не может быть повышена в дальнейшем путем искусственного набирания знаков при производстве арифметических действий.

Поиск по сайту: