Несобственные интегралы. Определённый интеграл называют собственным интегралом

Определённый интеграл называют собственным интегралом, если промежуток интегрирования конечен, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на этом отрезке. В данном разделе рассматриваются так называемые несобственные интегралы, т.е. определённый интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования, либо определённый интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей в этом интервале бесконечный разрыв.

Несобственный интеграл I рода (интеграл с бесконечным

промежутком интегрирования)

Пусть подынтегральная функция f(x) непрерывна и ограничена для всех . Несобственный интегралом первого рода обозначается символически как . Несобственным интегралом от функции f(x) на бесконечном промежутке называется предел, если он существует, при определённого интеграла , т.е.

= . (7.21)

Если этот предел существует и он конечен, то несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогичным образом определяется несобственный интеграл на промежутке

= . (7.22)

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой

= + , (7.23)

где с – произвольное число. В данном случае интеграл слева сходится в том случае, когда сходятся оба интеграла справа.

Примеры.Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1. = , интеграл расходится;

2. = = =

= ;

3. = , интеграл расходится, так как при предел не существует.

4. Определить площадь фигуры, ограниченной кривой и осью Ох = =

= .

Рис. 7.19.

Признаки сравнения

Приведём без доказательства один из признаков сходимости несобственных интегралов I рода.

Теорема. Если на промежутке для непрерывных функций удовлетворяется неравенство 0 , то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , из расходимости интеграла следует расходимость интеграла .

Пример.Исследовать сходимость интеграла . Подынтегральная функция в промежутке интегрирования меньше чем , а интеграл является сходящимся. Следовательно, данный интеграл также сходится.

Несобственный интеграл II рода (интеграл от разрывной функции)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв в точке х = b . Несобственным интегралом II рода называется конечный предел, если он существует, интеграла . Таким образом, по определению,

. (7.18)

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.

Если функция f(x) имеет разрыв в точке с на промежутке [a, b], то несобственный интегралом II рода определяется формулой

.

В этом случае интеграл слева сходится, если оба несобственных интегралов справа являются сходящимися.

Примеры.Вычислить или установить сходимость несобственного интеграла:

1. . При х = 1 функция терпит бесконечный разрыв.

=

2. . При х = 0 функция терпит бесконечный разрыв.

= ,

интеграл расходится.

Поиск по сайту: