Вычисление определённого интеграла с помощью пакета Maxima

Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен выше оси Ох (см. рис. 7.4), т.е. f(x) > 0,

Рис. 7.4

то площадь имеет знак “+“ и в этом случае искомая площадь определяется формулой

. (7.5)

Если график функции f(x) расположен ниже оси Ох (см. рис. 7.3), т.е. f(x) < 0,

Рис. 7.5

то площадь имеет знак “ - ” и .

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f₁ (x) и y = f₂ (x) (при условии f₂ (x) ≥ f₁ (x) см. рис. 7.6), прямыми x = a и x = b может быть найдена с помощью определенных интегралов

. (7.6)

Рис. 7.6.

Примеры.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = sin x и осью Ох при . Построим данную фигуру (рис. 7.7)

Рис. 7.7.

Используя формулу (7.5), находим искомую площадь фигуры

(кв. ед.)

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями у = х, , х = 2.

Изобразим данную фигуру (рис. 7.8)

Рис. 7.8.

Находим пределы интегрирования: точка пересечения линий у = х, имеет абсциссу , следовательно, промежуток интегрирования - . По формуле (7.6) определяем площадь фигуры

(кв. ед.)

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линями и .

Построим фигуру, площадь которой необходимо вычислить (рис. 7.9).

Рис. 7.9.

Находим точку пересечения линий и . Решаем уравнение

, имеем или , откуда . Из рисунка видно, что пределами интегрирования являются . Определяем площадь фигуры, используя формулу (7.6)

(кв. ед.)

Параметрические координаты

Примеры.

1. Найти площадь фигуры ограниченной эллипсом, который задан в параметри-ческой форме

.

Изображаем фигуру, площадь которой необходимо определить (рис. 7.10)

Рис. 7.10.

Найдём четвёртую часть площади S, расположенной в первой четверти ко-ординатной плоскости (на рисунке она окрашена серым цветом). Здесь х изменяется от 0 до а и, следовательно, t изменяется от π / 2 до 0. По формуле (7.7) находим

=

= . Таким образом, . Значит .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одно аркой циклоиды и осью Ох.

Циклоида есть траектория точки, расположенной на ободе колеса радиуса а , при равномерном качении колеса по оси Ох. При одном обороте колеса центр колеса переместится на расстояние (рис. 7.11).

Рис. 7.11.

Уравнение циклоиды в параметрической форме имеет вид

,

При изменении параметр t изменяется в пределах . По формуле (7.7) находим искомую площадь

=

= =

= .

Полярные координаты

В некоторых случаях вычисление площадей криволинейных фигур удобно проводить в полярных координатах.

Полярная система координат определяется заданием точки О (полюс)луча Ор, исходящего из точки О (полярной оси) и масштаба для измерения длины. Положение точки М на плоскости определяется в полярной системе координат двумя числами: полярным радиусом (рис. 7.12), выражающим длину отрезка ОМ в выбранном масштабе, и полярным углом φ = .

Рис. 7.12.

Из рис. 7.10 видно, что независимо от расположения точки М на плоскости имеют место следующие формулы перехода от полярных координат ( ) к декартовым (х, у) : , ;

и от декартовых к полярным: , .

Найдём площадь криволинейного сектора.Пусть кривая АВ за­дана в полярных координатах уравнением , , причем функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [α, β]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой АВ и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы α и β, будем называть кри­волинейным сектором (рис. 7.13). Площадь S криволинейного сек­тора определяется формулой

. (7.8)

Рис. 7.13.

Доказательство. Разобьем произвольно отрезок [α, β] иа п частей точками ол , выберем на каждом частичном отрезке [ ] произвольно точку ( ) и построим круговые сек­торы с радиусами . В результате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна площади S криволи­нейного сектора:

,

где . С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является интегральной суммой для интеграла (7.8). Так как функция непрерывна на отрезке [α, β ], то предел этой суммы при существует и равен интегралу (7.8).

Следовательно, и площадь криволинейного сектора численно равна этому определенному интегралу:

.

Пример 1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной поляр­ной осью и первым витком спирали Архимеда: , где а — положительное число (рис. 7.12).

Рис. 7.12.

Решение. При изменении от 0 до 2π полярный радиус описывает кривую, ограничивающую криволинейный сектор ОАВС. Поэтому по формуле (7.8) имеем

.

Расстояние от точки С до полюса равно . Поэтому круг радиуса ОС имеет площадь π ∙OC² = 4 π³ a² = 3 ∙ , т. е. площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1/3площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка. К этому вы­воду пришел еще Архимед.

Пример 2.Второй закон Кеплера (закон площадей) о движении планет солнечной системы гласит: площадь, описываемая радиусом-вектором планеты, проведенном из центра Солнца, возрастает пропорционально времени.

Пользуясь этим законом площадей, покажем, что скорость планеты V_П в ближайшей к Солнцу точке орбиты П (перигелий) будет наибольшей, а в наиболее удалённой от Солнца точке А (афелий) – скорость будет наименьшей (рис. 7.15)

Рис. 7.15.

Рассмотрим перемещение планеты в окрестностях точек А (афелий) и П (перигелий), по закону Кеплера площади секторов и равны между собой, т.е.

,

где - площадь сектора, опирающегося на дугу , длина этой дуги равна , аналогично - площадь сектора, опирающегося на дугу , длина этой дуги равна .

Из формулы для площади криволинейного сектора (7.8) следует, что

или , т.е. . Здесь и перемещение планеты за один и тот же промежуток времени в окрестности точек А и П орбиты. Разделим предыдущее равенство на промежуток времени :

.

Отношение перемещения планеты ко времени есть скорость планеты в точке А, аналогично отношение перемещения ко времени есть скорость планеты в точке П, т.е.

, .

В результате или , откуда следует, что

.

Поиск по сайту: