Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x). Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками.
x0 < x1 < x2 < … < xn
Тогда x1 – x0 = Dx1, x2 – x1 = Dx2, … ,xn – xn-1 = Dxn – длины частных отрезков.
На каждом из полученных частных отрезков [xi-1, xi], i = 1, 2,…, n выберем произвольную точку и найдем значение функции в этой точке, т.е. f(сi ) (см. рис. 7.1).
Рис. 7.1.
Составим выражение Sn , которое называется интегральной суммой для функции y = f(x) на отрезке [a, b].
Sn = f(c1)Dx1 + f(c2)Dx2 + … + f(cn)Dxn = .
Обозначим λ длину наибольшего частичного отрезка: (i = 1, 2,…, n). Найдём предел интегральной суммы, когда так, что .
Если при любых разбиениях отрезка [a, b] на частичные таких, что maxDxi® 0 и произвольном выборе точек сi интегральная сумма стремится к пределу I , то это число называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a, b] и обозначается
Таким образом, = . (7.1)
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, х – переменной интегрирования, [a, b] – отрезком интегрирования, f(x)- подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением.
Функция у = f(x), для которой на отрезке [a, b] существует определённый интеграл называется интегрируемой на этом отрезке.
Из рисунка 7.1. видно, что сумма произведений Sn = равна площади ступенчатой фигуры и приближённо равна площади S криволинейной трапеции:
S ≈ Sn = .
С уменьшением всех величин Dxiкриволинейной трапеции ступенчатой фигурой увеличивается. Поэтому за точное значение площади криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что :
Теорема (Коши). Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.
Существуют и иные теоремы математического анализа, определяющие классы функций, интегрируемых на отрезке [a, b]. В частности таковыми являются:
· непрерывные на отрезке [a, b] функции;
· ограниченные на отрезке [a, b] функции, имеющие конечное число точек разрыва;
· монотонные на отрезке [a, b] функции.
Основные свойства определённого интеграла
Рассмотрим основные свойства определённого интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a, b]
1) (С – const) , т.е. постоянный множитель С можно выносить за знак определённого интеграла.
2) , т.е. интеграл от суммы (разности) равен сумме (разности) интегралов.
3) .
4) .
5) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство:
, т.е. интеграл по всему отрезку равен
сумме интегралов по частям этого отрезка.
6) Если функция f(x) сохраняет знак на отрезке [a, b], где a < b, то интеграл имеет тот же знак, что и функция. Так если на отрезке [a, b] , то .
7) Если f(x) £ j(x) на отрезке [a, b] (a < b), то , т.е. неравенство между непрерывными функциями на отрезке [a, b] (a < b) можно интегрировать.
8) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b] (a < b), то:
9) Теорема о среднем.Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка такая, что
.
Доказательство: В соответствии со свойством 8:
или . Обозначим .
т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число сÎ [a, b], что m = f(с), т.е. или . Теорема доказана.
10) Производная определённого интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом
Доказательство: пусть функция у = f(x) интегрируема на отрезке [a, b]. Вводится обозначение , здесь . Рассмотрим три точки отрезка [a, b]: а , х, х + Δх ( ) и определим разность . По свойству 5 определённых интегралов первый интеграл правой части можно представить в виде