Згідно закону усесвітнього тяжіння всі тіла притягуються до Землі з силою, пропорційній масі тіла ( m - маса тіла і g = 9,81 м/с2 ), ця сила називається вагою тіла (силою тяжіння).
При розгляданні рівноваги і руху тіл складної форми поважно знати положення центру тяжіння цього тіла.
Розглянемо визначення положення центру тяжіння матеріальної пластини АВВ1А1 у вигляді криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривий АВ, яка задана явним рівнянням у = у(х), і лініями х = а, х = b ( а < b) і у = 0 (Рис. 7.21).
Рис. 7.21
Передбачимо, що поверхнева щільність матеріалу пластини постійна, тобто фігура однорідна. Можна для визначеності вважати, що питома вага матеріалу пластини дорівнює 1 (γ = ρ g = 1, ρ – щільність матеріалу), тоді маса пластини або її будь-якій частині вимірюється відповідною площею.
Для визначення положення центру тяжіння проведемо розбиття даної пластини на вертикальні смуги з основами i = 1,2,.,n ( ). Центр тяжіння кожної смуги визначається координатами
, ,
де і - координати точки кривої ( = y ( ) ).
Центром тяжіння даної однорідної пластини АВВ1А1, також як для будь-якого іншого тіла, володіє цією властивістю, що її положення не залежить від повороту даної пластини на будь-який кут по відношенню до вертикалі. Як показано в курсі теоретичної механіки координати центру тяжіння тіла визначається формулами
, , (7.15)
коли кількість розбиття прагне до нескінченності, а довжина елементів розбиття . У формулах (7.15) - площа i – ої смуги розбиття
( , ).
Переходячи до границі у формулах (7.15), коли і , відповідні суми є інтегральними, тому координати центру тяжіння криволінійної трапеції визначається формулами
, , (7.16)
де у = у(x) – рівняння кривої АВ.
Зауваження. 1. Якщо плоска фігура має вісь або центр симетрії, то центр тяжіння такої фігури знаходиться на осі або в центрі симетрії.
2. Якщо тіло складається з частин, центри тяжіння яких відомі, то центр тяжіння складеної фігури визначається по формулах
, ,
тут k – кількість складових частин; Si і хi, уi – відповідно площа і координати центру тяжіння i-ої частини. Якщо ж плоска фігура має отвори, то центр тяжіння цієї фігури визначається по цих же формулах, проте площі, відповідні отворам мають бути негативними.
Приклад.Визначити координати центру тяжіння чверті круга (х, у > 0) . Зобразимо дану плоску фігуру (див. рисунок).
Площа чверті круга .
Визначаємо інтеграли чисельників формул (7.16) (ці інтеграли називаються статичними моментами)
,
.
Таким чином, координати центру тяжіння чверті круга рівні
, .
Завдання для самостійного розв’язання.
Знайти координати центру тяжіння фігури, обмеженої лініями:
1) , x = 0, y = 0 . 2) x = 0, x = , y = 0, y = cos x.