Хай в прямокутних координатах задана плоска крива АВ, рівняння якої , де . Якщо і безперервні, то такі криві називаються гладкими. Під довжиною дуги АВ розуміється границя, до якої прагне довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу, коли число сторін ламаною необмежено зростає, а довжина найбільшої із сторін ламаною прагне до нуля.
Рис. 7.16.
Довжина ламаної лінії, яка відповідає дузі M0Mn, може бути знайдена як сума , де - довжина сторони ламаною на ділянці (рис. 7.16). Тоді довжина дуги M0Mn дорівнює .
З геометричних міркувань: , але в той же час .
Тоді . Тобто довжина дуги M0Mn при зміні х від а до b дорівнює
. (7.9)
Приклад.Обчислити довжину дуги кубічної параболи , що знаходиться між точками і .
Оскільки , то . Тому шукана довжина дуги згідно формулі (7.9) визначається таким чином
= .
Якщо рівняння кривої задане параметрично, то з врахуванням правил обчислення похідної параметрично заданої функції, з формули (7.9) отримуємо
=
= ,
де х = x(t), a = x(α) і у = у(t), b=y(β). Таким чином, якщо рівняння кривої задане в параметричній формі, то довжина кривої знаходиться по формулі
. (7.10)
Приклад.Знайти довжину першої арки циклоїди
Знаходимо похідні і . По формулі (7.10) довжина арки циклоїди
=
=
= .
Якщо задана просторова крива , і х = x(t), у = y(t) и z = z(t), то
. (7.11)
Полярні координати
Хай крива задана в полярних координатах, , , причому функція і безперервні на відрізку [α, β]. Скористаємося формулами зв'язку між полярними і декартовими координатами , , тоді рахуючи кут φ параметром, можна задати рівняння кривої в параметричній формі
і довжину кривої знаходимо по формулі (7.10), виконавши відповідні перетворення
Тому =
= .
В результаті довжина кривої визначається формулою
. (7.12)
Приклад.Знайти довжину кардіоїди . Кардіоїда, яка зображена на рисунку
Рис. 7.17
може бути отримана як траєкторія точки кола С1, що котиться без ковзання по колу С того ж радіусу а. Коли φ пробігає проміжок (-π, +π) , кардіоїда описується повністю. Довжина її згідно (7.12) рівна
Таким чином, довжина кардіоїди дорівнює восьмикратному діаметру виробляючого круга.
Обчислення об'єму тіла
Обчислення об'єму тіла по відомих площах його поперечних
Перетинів
Хай є тіло об'єму V. Площа будь-якого поперечного перетину тіла S, відома як безперервна функція S = S(x). Розіб'ємо тіло на “шари” поперечними перетинами, що проходять через точки хi розбиття відрізання [а, b]. Оскільки на якому-небудь проміжному відрізку розбиття [xi-1, xi] функція S(x) безперервна, то набуває на нім найбільшого і найменшого значень. Позначимо їх відповідно Mi і mi.
Рис. 7.18
Якщо на цих найбільшому і найменшому перетинах побудувати циліндри із утворюючими, паралельними осі х, то об'єми цих циліндрів будуть відповідно рівні MiDxi і miDxi , тут Dxi = xi+1 - xi.
Виробивши такі побудови для всіх відрізків розбиття, отримаємо циліндри, об'єми яких рівні відповідно і .
При прагненні до нуля кроку розбиття l , ці суми мають загальну границю:
.
Таким чином, об'єм тіла може бути знайдений по формулі:
. (7.13)
Недоліком цієї формули є те, що для знаходження об'єму необхідно знати функцію S(x), що вельми проблематично для тіл складної форми.
Об'єм тіла обертання
Розглянемо криву, задану рівнянням y = f(x). Передбачимо, що функція f(x) безперервна на відрізку [а, b]. Якщо відповідну їй криволінійну трапецію з підставами а і b обертати довкола осі Ох, то отримаємо так зване тіло обертання (рис. 7.19).
Рис. 7.19.
Перетин цього тіла площиною, перпендикулярній осі Ох, проведеною через довільну точку х осі Ох ( ), є круг з радіусом у = f(x). Отже, площа поперечного перетину S(x) = π y2.
Застосовуючи формулу (7.13) об'єму тіла, для якого відомі площі поперечних перетинів, отримуємо
. (7.14)
Приклад.Визначити об'єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями y = x2 , x = 1, x = 2 (рис. 7.20).