Визначний інтеграл в символьному режимі (аналітично) обчислюється за допомогою команди
integrate(f, x, а, b)
де f – підінтегральна функція, x – змінна інтегрування, а і b відповідно верхня і нижня границя інтегрування.
Приклади. Обчислити інтеграл:
1)
У ячейку введення задаємо команду
(%i4) integrate((1+cos(x))^2,x,0,%pi);
отримуємо результат
(%o4) (3*%pi)/2.
2)
(%i14) integrate(cos(2*x)*exp(-х),x,0,3);
(%o14) (%e^(-3)*(2*sin(6) -cos(6)))/5+1/5
(%i15) %o14, numer;
(%o15) 0.184874675854
Чисельне інтегрування виконується функцією romberg або за допомогою функцій пакету quadpack.
Приклад. Обчислити інтеграл
У стоці меню вибираємо кнопку Аналіз → Integrate (Рис. 7.2), в результаті виникає допоміжне вікно для введення підінтегральної функції і границь інтегрування Інтегрувати (Рис. 7.3), тут же вказується режим інтегрування (чисельне), а також метод інтегрування romberg або quadpack.
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Натискує на клавішу Ok в робочому вікні з‘явиться ячека введення і результат інтегрування
(%i2) quad_qags(tan(x)/(sin(x)^2-5*cos(x)^2+4), x %pi/4, acos(1/sqrt(3)));
Відомо, що визначний інтеграл на відрізку є площа криволінійної трапеції, яка обмежена графіком функції f(x). Якщо графік розташований вищим за вісь Ох (див. рис. 7.4), тобто f(x) > 0,
Рис. 7.4
то площа має знак “+“ і в цьому випадку шукана площа визначається формулою
. (7.5)
Якщо графік функції f(x) розташований нижчим за вісь Ох (див. рис. 7.3), тобто f(x) < 0,
Рис. 7.5
то площа має знак “ - ” і .
Площа фігури, яка обмежена кривими y = f1 (x) і y = f2 (x) (за умовою f2 (x) ≥ f1 (x) див. рис. 7.6), а також прямими x = а і x = b, може бути знайдена за допомогою визначних інтегралів
. (7.6)
Рис. 7.6.
Приклади.
1. Обчислити площу фігури, яка обмежена графіком функції у = sin x і віссю Ох при . Побудуємо дану фігуру (рис. 7.7)
Рис. 7.7.
Використовуючи формулу (7.5), знаходимо шукану площу фігури
(кв. од.)
2. Обчислити площу фігури, яка обмежена лініями у = х, , х = 2 .
Побудуємо дану фігуру (рис. 7.8)
Рис. 7.8.
Знаходимо границі інтегрування : точка перетину ліній у = х, має абсцису , отже, проміжок інтегрування - . За формулою (7.6) визначаємо площу фігури
(кв. од.)
3. Обчислити площу фігури, яка обмежена лінями і .
Побудуємо фігуру, площу якої необхідно обчислити (рис. 7.9).
Рис. 7.9.
Знаходимо точку перетину ліній і . Розв‘язуємо рівняння , маємо або , звідки . З рисунка видно, що границями інтегрування є . Визначаємо площу фігури, використовуючи формулу (7.6)
(кв. од.)
Параметричні координати
Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, яка задана у параметричній формі
,
прямими і і віссю Ох, то її площа визначається по формулі
, (7.7)
де α і β визначаються з рівності і .
Приклади.
1. Знайти площу фігури обмеженою еліпсом, який заданий в параметричній формі
.
Побудуємо фігуру, площу якої необхідно визначити (рис. 7.10)
Рис. 7.10.
Знайдемо четверту частину площі S еліпса, яка розташована в першій чверті координатної площини (на рисунку вона зображена сірим кольором). Тут х змінюється від 0 до а , тоді t змінюється від π / 2 до 0. По формулі (7.7) знаходимо
=
= . Таким чином . Значить .
2. Обчислити площу фігури, обмеженої однієї аркою циклоїди і віссю Ох.
Циклоїда є траєкторія крапки, розташованої на ободі колеса радіусу а, при рівномірному коченні колеса по осі Ох. При одному звороті колеса центр колеса переміститься на відстань (рис. 7.11).
Рис. 7.11.
Рівняння циклоїди в параметричній формі має вигляд
,
При зміні параметр t змінюється в межах . По формулі (7.7) знаходимо шукану площу
=
= =
= .
Полярні координати
В деяких випадках обчислення площ криволінійних фігур зручно проводити в полярних координат.
Полярна система координат визначається завданням точки О (полюс) проміння Ор, витікаю чого з точки О (полярній осі) і масштабу для виміру довжини. Положення точки М на площині визначається в полярній системі координат двома числами: полярним радіусом (рис. 7.12), що виражає довжину відрізку ОМ у вибраному масштабі, і полярним кутом φ = .
Рис. 7.12.
З рис. 7.12 видно, що незалежно від розміщення точки М на площині мають місце наступні формули переходу:
від полярних координат ( ) до декартових (х, у ) : , ;
від декартових до полярних: , .
Знайдемо площу криволінійного сектора. Хай крива АВ задана в полярних координатах рівнянням , , причому функція безперервна і невід‘ємна на відрізку [α, β]. Плоска фігура, яка обмежена кривою АВ і двома променями, які складають з полярною віссю кути α і β, називатимемо криволінійним сектором (рис. 7.13). Площа S криволінійного сектора визначається формулою
. (7.8)
Рис. 7.13.
Доведення. Розіб'ємо довільним чином відрізок [α, β] на п частин точками , виберемо на кожному частковому відрізку [ ] довільно точку ( ) і побудуємо кругові сектори з радіусами . В результаті отримаємо віялоподібну фігуру, площа якої приблизно дорівнює площі S криволінійного сектора:
,
де . З іншого боку, площа віялоподібної фігури є інтегральною сумою для інтеграла (7.8). Оскільки функція безперервна на відрізку [α, β], то границя цієї суми при існує і дорівнює інтегралу (7.8).
Отже, і площа криволінійного сектора чисельно дорівнює цьому визначному інтегралу:
.
Приклад 1.Обчислити площу фігури, яка обмежена полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда: , де а — позитивне число (рис. 7.12).
Мал. 7.12.
Розв‘язання. При зміні від 0 до 2π полярний радіус описує криву, що обмежує криволінійний сектор ОАВС. Тому по формулі (7.8) маємо
.
Відстань від точки С до полюса рівно . Тому круг радіусу ОС має площу π ∙OC2 = 4 π3 a2 = 3 ∙ , тобто площа фігури, обмеженою полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда, рівна 1/3 площі круга з радіусом, рівним найбільшому з полярних радіусів витка. До цього виводу прийшов ще Архімед.
Приклад 2.Другий закон Кеплера (закон площ) про рух планет сонячної системи свідчить: площа, що описується радіусом-вектором планети, проведеному з центру Сонця, зростає пропорційно часу.
Користуючись цим законом площ, покажемо, що швидкість планети VП в найближчій до Сонця точці орбіти П (перигелій) буде найбільшою, а в найбільш віддаленій від Сонця точці А (афелій) – швидкість буде найменшою (рис. 7.15)
Рис. 7.15.
Розглянемо переміщення планети в околицях точок А (афелій) і П (перигелій), за законом Кеплера площі секторів і рівні між собою, тобто
,
де - площа сектора, що спирається на дугу , довжина цієї дуги дорівнює , аналогічно - площа сектора, що спирається на дугу , довжина цієї дуги дорівнює .
З формули для площі криволінійного сектора (7.8) витікає, що
або , тобто . Тут і переміщення планети за один і той же проміжок часу в околиці крапок А і П орбіти. Розділимо попередню рівність на проміжок часу :
.
Відношення переміщення планети до часу є швидкість планети в точці А, аналогічне відношення переміщення до часу є швидкість планети в точці П, тобто