8.Якщо функція неперервна на , то існує точка така, що
Теорема (Ньютона-Лейбніца). Якщо функція неперервна на і її первісна, то
.(3)
Формулу (3) називають основною формулою інтегрального числення.
Теорема (про заміну змінної у визначеному інтегралі). Нехай функція неперервна на . Тоді якщо:
1) функція має на неперервну похідну;
2) функція відображає на ;
3) та .
Тоді має місце формула:
(4)
Як це було і у випадку невизначеного інтеграла, вдалий вибір заміни або має першорядне значення для успіху інтегрування. Проведена підстановка доцільна лише тоді, коли обчислення інтеграла після її застосування значно спроститься, порівняно з вихідним інтегралом.
Нові межі інтегрування і знаходимо так. У заміну підставляємо спочатку стару нижню межу інтегрування . Дістаємо рівняння . Його розв’язок і буде новою нижньою межею . Якщо цьому рівнянню задовольняє не одне, а декілька значень , то за можна вибрати будь-яке з них (доцільно найменше). Для знаходження нової верхньої межі інтегрування у заміну підставляємо стару верхню межу , дістаємо рівняння , його розв’язок і буде новою верхньою межею .
Зауваження.Так як визначений інтеграл є число, то при заміні змінних у визначеному інтегралі не треба повертатися до старої змінної, як це було у невизначеному інтегралі. Але при використанні формули (4) треба слідкувати за виконанням умов (1-3) теореми про заміну змінної, інакше можна отримати невірний результат.
Теорема(про інтегрування частинами у визначеному інтегралі).Якщо функції і неперервно диференційовні на , то (5)
Застосування формули (18.5) майже нічим не відрізняється від застосування відповідної формули для визначеного інтеграла. Вибір і , такий же (див.для невизначеного інтегралу). В якості завжди вибираємо такий вираз, який містить , та інтегруючи який, знаходимо . За у більшості випадків вибираємо функцію, яка при диференціюванні спрощується (наприклад, многочлен, логарифмічна функція, обернені тригонометричні функції).
Іноді спрощення обчислення визначених інтегралів можливо у разі парних, непарних та періодичних функцій.