Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Основні властивості визначеного інтеграла



1.Якщо на , , , то .

2.

3. , .

4.

5.Якщо на і , то .

6.Якщо інтегрована на , і для , то

7.Якщо точка , то

8.Якщо функція неперервна на , то існує точка така, що

Теорема (Ньютона-Лейбніца). Якщо функція неперервна на і її первісна, то

.(3)

Формулу (3) називають основною формулою інтегрального числення.

Теорема (про заміну змінної у визначеному інтегралі). Нехай функція неперервна на . Тоді якщо:

1) функція має на неперервну похідну;

2) функція відображає на ;

3) та .

Тоді має місце формула:

(4)

Як це було і у випадку невизначеного інтеграла, вдалий вибір заміни або має першорядне значення для успіху інтегрування. Проведена підстановка доцільна лише тоді, коли обчислення інтеграла після її застосування значно спроститься, порівняно з вихідним інтегралом.

Нові межі інтегрування і знаходимо так. У заміну підставляємо спочатку стару нижню межу інтегрування . Дістаємо рівняння . Його розв’язок і буде новою нижньою межею . Якщо цьому рівнянню задовольняє не одне, а декілька значень , то за можна вибрати будь-яке з них (доцільно найменше). Для знаходження нової верхньої межі інтегрування у заміну підставляємо стару верхню межу , дістаємо рівняння , його розв’язок і буде новою верхньою межею .

Зауваження. Так як визначений інтеграл є число, то при заміні змінних у визначеному інтегралі не треба повертатися до старої змінної, як це було у невизначеному інтегралі. Але при використанні формули (4) треба слідкувати за виконанням умов (1-3) теореми про заміну змінної, інакше можна отримати невірний результат.

Теорема(про інтегрування частинами у визначеному інтегралі).Якщо функції і неперервно диференційовні на , то (5)

Застосування формули (18.5) майже нічим не відрізняється від застосування відповідної формули для визначеного інтеграла. Вибір і , такий же (див.для невизначеного інтегралу). В якості завжди вибираємо такий вираз, який містить , та інтегруючи який, знаходимо . За у більшості випадків вибираємо функцію, яка при диференціюванні спрощується (наприклад, многочлен, логарифмічна функція, обернені тригонометричні функції).

Іноді спрощення обчислення визначених інтегралів можливо у разі парних, непарних та періодичних функцій.

Якщо - парна функція, то . (6)

Якщо - непарна функція, то . (7)

Якщо - періодична функція з періодом , то ,

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.