Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Невизначений інтеграл та його обчислення



Основною задачею інтегрального обчислення є задача обернена до основної задачі диференціального обчислення: за заданою функцією знайти таку функцію , похідна від якої була б рівною функції , тобто . Таким чином операції диференціювання та інтегрування взаємно обернені.

Означення. Функція називається первісною для функції на деякому проміжку , якщо для кожного виконується рівність

(1)

Процес знаходження первісної функції для заданої функції називається інтегруванням функції. Будь-яка неперервна функція має первісну. Якщо первісна для функції на проміжку , то будь-яка інша первісна для на може бути представлена у вигляді , де - довільна постійна.

Означення. Якщо функція має первісну , то множина всіх первісних цієї функції , де - довільна постійна, називається невизначеним інтегралом від і позначається символом

, (2)

При цьому називають: - підінтегральна функція, - підінтегральний вираз, - змінна інтегрування.

Властивості невизначеного інтеграла:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , ;

5.

.

Наслідок:

.

 

Таблиця основних інтегралів

Єдиного алгоритму для знаходження невизначених інтегралів у скінченному вигляді (через елементарні функції) не існує. Основні формули інтегрування, записані нижче, можна дістати шляхом обернення формул для похідних основних елементарних функцій. Подаємо основні табличні інтеграли, покладаючи, що - складна неперервна функція і .

1. ; ;

2. , ; ;

; ;

3. ;

4. ; ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

Майстерність інтегрування полягає в умінні так перетворити підінтегральний вираз, щоб останній став одним із табличних. Загальний алгоритм знаходження невизначених інтегралів:

1) перетворити підінтегральний вираз з вище указаною метою;

2) розкласти інтеграл від алгебраїчної суми функцій на алгебраїчну суму інтегралів від цих функцій;

3) винести постійний множник за знак інтеграла;

4) застосувати відповідні табличні інтеграли. (Коли немає необхідності в застосуванні якоїсь із перерахованих операцій, вона опускається).

Наведемо приклади табличного інтегрування.

Приклад 1

Обчислити інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) 8) ; 9) ; 10) .

Розв’язання

 

1) За властивістю 4 невизначеного інтеграла і табличним інтегралом (2) знаходимо

.

2) Аналогічно попередньому маємо

.

3) .

4) За властивістю 4 невизначеного інтеграла, табличним інтегралом (2) та враховуючи, що , дістаємо .

5) Аналогічно 4), враховуючи що , знаходимо

.

6) Аналогічно 4), враховуючи що , маємо

.

7) .

8) Аналогічно попередньому, зважаючи що , дістаємо

.

9)

.

10) .

Приклад 2

Обчислити інтеграли

1) ; 2) ; 3) ;

Розв’язання

1) Використовуємо наслідок 4-ї та 5-ї властивості невизначеного інтеграла та досвід розв’язування прикладу 1.

.

2) Аналогічно попередньому, враховуючи що , дістаємо

.

3) Розв’язуємо аналогічно пр.1, попередньо спростивши підінтегральний вираз, розкривши куб різниці за формулою

.

Приклад 3

Обчислити інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) .

Розв’язання

При обчисленні цих інтегралів будемо користуватися табличним інтегралом (2) . Перед обчисленням кожного інтеграла для себе треба з’ясувати наступне:

1) яку із функцій, котрі стоять під знаком інтеграла, треба прийняти за ;

2) чи стоїть за нею множник рівний , тобто чи стоїть під знаком інтеграла ;

3) коли це так, то, формулу (2) використовуємо зразу ж. Якщо ж підінтегральна функція не має вигляду , але відрізняється від неї лише на деякий постійний множник , то помноживши і розділивши підінтегральну функцію на множник та виносячи множник за знак інтеграла, дістанемо табличну підінтегральну функцію і можемо використовувати формулу (2).

1)

Будемо користуватися табличним інтегралом (2). Для цього покладемо , . Тоді підінтегральна функція має табличний вигляд і табличним інтегралом (2) можна зразу користуватися

.

2)

Покладемо .

Тоді, зважаючи що підінтегральна функція має табличний вигляд і табличним інтегралом (2) можна користуватися.

.

3)

Покладемо і . Щоб дістати табличну підінтегральну функцію множимо та ділимо підінтегральний вираз на 5 та виносимо за знак інтеграла.

.

4)

Виберемо

; .

Для того, щоб підінтегральна функція стала табличною множимо та ділимо підінтегральний вираз на 2 і виносимо множник за знак інтеграла.

.

5)

Перетворимо цей інтеграл до табличного (2):

.

Тоді

; .

Множимо та ділимо підінтегральний вираз на (-3) і виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (2).

.

6)

Покладемо і , . Підінтегральна функція зразу є табличною .

.

7)

Перетворимо цей підінтегральний вираз до табличного (2), зважаючи що .

Тоді ; . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на (-2) та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (2).

.

 

Приклад 4

Обчислити інтеграли, користуючись табличним інтегралом (3):

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

Розв’язання

Відзначимо, що при використанні табличного інтеграла (3) підінтегральна функція повинна мати вигляд , інакше інтегралом (3) не можна користуватися. У тих випадках, коли підінтегральна функція обчислювального інтегралу відрізняється від лише на деякий постійний множник , то помноживши та розділивши підінтегральну функцію на і виносячи постійний множник за знак інтеграла, дістаємо табличний інтеграл (3).

1)

Покладемо . Очевидно підінтегральна функція має вигляд і табличним інтегралом (3) можна користуватися. Тому .

2)

Покладемо . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 4, виносимо за знак інтеграла. Тепер табличним інтегралом (3) можна користуватися.

.

3)

Покладемо . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на (-2) і виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (3).

.

4)

Покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 20 та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (3).

.

5)

Покладемо .

Множимо та ділимо підінтегральну функцію на (-2) та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (3).

.

Приклад 5

Обчислити інтеграли від показникових функцій:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Розв’язання

Використовуємо табличний інтеграл (4)

, (4)

Звернемо увагу на те, що підінтегральні функції в обох інтегралах являють собою добутки та . Якщо множники в підінтегральних формулах відсутні, користуватись формулами (4) не можна. Якщо ж підінтегральні функції відрізняються від та лише постійним множником , то помноживши і розділивши їх на та винісши множник під знак інтеграла, дістаємо табличний підінтегральний вираз і тепер використовувати формули (4) можливо. У частинному випадку, якщо - аргумент та , формули (4) мають вигляд

, ( )

1) ;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

.

Приклад 6

Користуючись табличними інтегралами (5-12), обчислити інтеграли від тригонометричних функцій:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

Розв’язання

Слід звернути увагу на те, що кожна з підінтегральних функцій табличних інтегралів (5-12) має множник і в разі його відсутності користування формулами (5-12) неможливо. Якщо ж розглядувані підінтегральні функції відрізняються від табличних (5-12) лише на постійний множник , то помноживши і розділивши їх на та виносячи множник за знак інтеграла, дістанемо табличні підінтегральні вирази і право користуватися табличними формулами. У частинному випадку, коли формули (5-12) матимуть вигляд:

;

;

;

;

;

;

;

1)

Використаємо формулу (5) Підінтегральна функція повинна мати вигляд .Тому покладемо . Множимо і ділимо підінтегральні вирази на 3 та виносимо постійний множник за знак інтеграла.

= = .

2)

Використаємо формулу (6) підінтегральна функція повинна мати вигляд .

Тому покладемо . Виносимо множник 4 за знак інтеграла і дістаємо табличний інтеграл (6).

= .

3)

Використовуємо формулу (7). Підінтегральна функція повинна мати вигляд .

Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 6 та виносимо за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (7).

= .

4)

Користуємось формулою (8). Підінтегральна функція повинна мати вигляд . Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 3 та виносимо за знак інтеграла.

.

5)

Вибираємо формулу (9).Підінтегральна функція повинна мати вигляд .Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 8, виносимо за знак інтеграла і отримаємо табличний інтеграл (9)

.

6)

Вибираємо формулу (10). Підінтегральна функція повинна мати вигляд .

Тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на , виносимо за знак інтеграла і дістаємо табличний інтеграл (10).

.

7)

Будемо користуватися табличним інтегралом (12). Підінтегральна функція повинна мати вигляд ,тому покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на 7 та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (12).

.

8) =

Використовуємо табличний інтеграл (11) в якому підінтегральна функція має вигляд .

Виходячи с цього, покладемо . Множимо та ділимо підінтегральний вираз на , виносимо за знак інтеграла і отримуємо табличний інтеграл (11).

.

Приклад 7

Обчислити інтеграли користуючись формулами (13-16):

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

Розв’язання

Формули (13-18) мають відповідно підінтегральні функції (13); (14); (15); (16). Якщо в конкретних інтегралах, зробивши тотожні перетворення, можна виділити такі підінтегральні функції, то відповідні інтеграли можна застосовувати для обчислень. У частинному випадку, коли , формули (13-16) приймають вигляд:

, ( )

, ( )

, ( )

. ( )

1)

Користуємось властивістю (4) невизначеного інтеграла та табличним інтегралом (13'). У цьому прикладі . Тому

.

2)

Використаємо табличний інтеграл (13). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 3, виносимо множник за знак інтеграла і дістаємо підінтегральну функцію інтеграла (13).

.

3)

Використаємо табличний інтеграл (13). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на (-1) та виносимо (-5) за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (13).

.

4)

Використаємо табличний інтеграл . Покладемо та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл .

.

5)

Використаємо табличний інтеграл (14), покладаючи ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (14).

.

6)

Використаємо табличний інтеграл (14). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 2 та виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (14).

.

7)

Використаємо табличний інтеграл (16). Тут , маємо зразу табличний інтеграл .

.

8)

Використаємо табличний інтеграл (16), покладаючи ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 3, виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (16).

.

9)

Використаємо табличний інтеграл (15). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на 5, виносимо множник за знак інтеграла. Дістаємо табличний інтеграл (15).

.

10)

Використаємо табличний інтеграл (15). Покладемо ; . Множимо та ділимо підінтегральну функцію на , виносимо множник за знак інтеграла, та дістаємо табличний інтеграл.

.

11)

Зведемо обчислення до табличних інтегралів (3) та (13), зважаючи на те, що та використовуючи властивості (5) та (4) невизначених інтегралів.

.

12)

Зведемо обчислення до табличних інтегралів (3) та (14), діючи аналогічно прикладу 11.

.

 

Завдання для самостійної роботи:

Обчислити інтеграли:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) ;

13) 14) ; 15) ; 16) ;

17) ; 18) ; 19) ; 20) ;

21) ; 22) ; 23) ; 24) ;

25) ; 26) ; 27) ; 28) ;

29) ; 30) ; 31) ; 32) ;

33) ; 34) ; 35) ; 36) ;

37) ; 38) ; 39) ; 40) ;

41) ; 42) ; 43) ; 44) ;

45) ; 46) ; 47) ; 48) ;

49) ; 50) ; 51) ; 52) .

 

Відповіді:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.