Алгоритм обчислення похідної

Похідна функції може бути знайдена за таким алгоритмом:

. Надамо аргументу приріст і знайдемо нарощене значення функції

.

. Знаходимо приріст функції

.

. Складаємо відношення .

. Знаходимо границю цього відношення, якщо , тобто

.

Приклад 1

За означенням похідної знайти похідні функцій:

1) ; 2) ; 3) , ;

4) ; 5) .

Розв’язання

1)

Користуємось алгоритмом обчислення похідної.

. ;

.

;

. ;

.

.

Тоді

. (9)

Аналітично можна дістати

. (10)

2)

. ;

. ;

. ;

.

.

Тоді

. (11)

3) ,

. ;

. ;

. ;

. .

Тоді

, . (12)

4)

. ;

.

;

. ;

. , тобто .

Можна довести, ми це зробимо пізніше, що для степеневої функції , похідна обчислюється за формулою

. (13)

5) – показникова функція

. ;

. ;

. ;

. .

Тут використали еквівалентні нескінченно малі (8.10):

, якщо .

Тоді

(14)

6)

. ;

. ;

. ;

. .

Тоді

. (15)

Диференційованість функції

Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді

, (16)

де , , – нескінченно мала функція при .

Теорема 1. Для того, щоб функція була диференційованою в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінченну похідну.

Зауваження. Із цієї теореми слідує, що поняття диференційованості функції в точці та існування в точці скінченної похідної – тотожні. Тому операцію обчислення похідної називають диференціюванням функції. Множину всіх функцій, диференційованих на , позначають через .

Теорема 2. Якщо функція є диференційованою в точці , то вона неперервна в цій точці.

Обернене твердження невірне! Існують неперервні функції, але не диференційовні в деяких точках неперервності. Наприклад, функція (рис. 10.3). Вона неперервна на всій дійсній прямій, але не диференційовна в т. , похідна цієї функції в точці не існує.

Дійсно

Розглянемо похідну зліва та справа в точці . За означенням

;

(16^*)

.

Функція буде диференційованою в точці , якщо обидві похідні зліва та справа в точці існують і дорівнюють одна одній. Геометрично умова означає, що графік функції в точці має дотичну. Якщо , то в точці існують дві різні дотичні. У нашому випадку

; ,

і тому функція не диференційована в точці , хоча ця точка є точкою неперервності.

Правила диференціювання

1. Якщо та – диференційовані функції від , то їх сума також є диференційованою функцією і

(17)

Наслідок. Похідна від суми будь-якого скінченного числа диференційованих функцій дорівнює сумі похідних цих функцій

. (18)

2. Добуток двох диференційованих функцій та є диференційованою функцією і

(19)

Наслідок.

а) Похідна добутку диференційованих функцій

. (20)

б) Якщо , – диференційована функція, то

, (21)

3. Якщо , то відношення двох диференційованих функцій є функція диференційована і

. (22)

Ці твердження легко доводяться за означенням похідної (10.3). Скористаємось алгоритмом обчислення похідної.

1. Доведемо (17).

Нехай і , .

. ;

. ;

. ;

. .

2. Доведемо (19), .

. ;

.

;

. ;

.

,

тому що .

3. Доведемо (21), .

. ;

. ;

. ;

.

, тому що .

Приклад 2

Знайти похідні наступних функцій:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

Розв’язання

1)

,

тому що ;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

(23)

7)

;

(24)

8)

;

(25)

9) ;

(26)

10)

;

(27)

11)

;

12)

.

5. Похідна від оберненої функції

Теорема. Якщо функція монотонна і має в точці відмінну від нуля похідну, то функція, обернена до даної має вигляд і її похідна обчислюється за формулою

. (28)

Це тому, що

.

Приклад 3

Обчислити похідні функцій:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Розв’язання

1) , , .

Оберненою функцією до заданої є функція . За теоремою про похідну від оберненої функції маємо

;

; (29)

2) , , .

Оберненою функцією до заданої є . За теоремою про похідну від оберненої функції

;

; (30)

3) , , .

Оберненою функцією до цієї є . Аналогічно прикладам 1) і 2) маємо

;

; (31)

4) , , .

Обернена функція до заданої . Тоді

;

. (32)

Поиск по сайту: