Если ядра N2, возникающие в результате радиоактивного распада ядер N1 в свою очередь являются радиоактивными, то для описания процесса этих двух последовательных превращений записывают систему двух дифференциальных уравнений: ; гдеλ1 и λ2 - постоянные распада ядер N1 и N2. Здесь первое дифференциальное уравнение описывает процесс радиоактивного распада первичного (материнского) вещества. Второе дифференциальное уравнение описывает изменение количества вторичного (дочернего) вещества и содержит справа два слагаемых. Первое дает прирост радиоактивных ядер вторичного вещества из-за распада первичного и поэтому в точности равно , т. е. числу распадающихся ядер первичного вещества. Второе слагаемое равно числу распадающихся ядер вторичного вещества.
Совершенно аналогично можно записать систему уравнений, описывающую взаимное превращение трех, четырех и т. д. веществ. Ниже рассмотрен только самый простой (но имеющий наибольшее практическое значение) случай двух веществ, опи-сываемый системой уравнений.
Решение этой системы уравнений в предположении, что Т1>>Т2( ) и N2(0) = 0, приводит к следующему результату (для t<<T1):
; (16.8)
Для оценки значения N2(t) можно использовать графический метод (рис. 78).
Соотношение (16.8) показывает, что количество радиоактивного дочернего вещества возрастает с течением времени и при t>>T2( t>>1) приближается к своему предельному значению:
=const.
Обычно это условие записывается в формеи носит название векового.
Альфа-распад
α-Распад относится к числу ядерных процессов, происходящих под действием сильного взаимодействия. Поэтому для разрешенных α-переходов должны выполняться все известные законы сохранения, включая закон сохранения четности Р и закон сохранения изотопического спина Т.
Каждый из них накладывает определенные ограничения на разрешенные α-переходы. Так, из закона сохранения изотопического спина следует, что α-радиоактивное ядро (A, Z) и дочернее ядро (А-4, Z-2), образующееся после α-распада, должны иметь одинаковый изотопический спин Т (потому что изоспинα-частицыТа=0). Из закона сохранения четности Р и момента количества движения I следует, что четность и спин начального (Рн и Iн) и конечного (Рк и Iк) ядер должны быть связаны с орбитальным моментом а α-частицы ℓα соотношениями:
; Рн/Рк=(-1)ℓα (17.5)
где все ℓα либо четные, либо нечетные числа. Напомним, что Pα=+1, а Iα=0. Остановимся более подробно на законах сохранения энергии и импульса.Условие энергетической возможности α-распада записывается следующим образом:
Eсв = [М(A-4, Z-2) + M() - М(A, Z)]c2< 0 (17.6)
или
М(А, Z) >M(A-4, Z-2)+M( ).
Масса (энергия) исходного ядра должна быть больше суммы масс (энергий) ядра-продукта и α-частицы. Избыток энергии исходного ядра выделяется при α-распаде ядра в виде кинетической энергии
Q = [М(A, Z) – M(A-4, Z-2)-М()]с2 = Ta+Тяд (17.7)
которая распределяется между α-частицей и ядром-продуктом таким образом, чтобы выполнялся закон сохранения импульсаpα + pЯД = p(A, Z).
Считая, что распадающееся ядро покоится, получаем | pα |=| pЯД| откуда Тяд=ТаМа/Мяа илиЕa=Тa+Тяд=Та(1+Ма/Мяд);Та=Еа
Таким образом, подавляющую часть кинетической энергии, выделяющейся при α-распаде, уносит α-частица, и лишь незначительная ее доля приходится на ядро-продукт.
α-распад происходит только на тяжелых ядрах с Z > 60.
Для четно-четных изотопов зависимость периода полураспада от энергии α-распада Qa хорошо описывается эмпирическим законом Гейгера - Неттола
(7.2)
где А и В - константы, слабо зависящие от Z. Для нечетно-четных, четно-нечетных и нечетно-нечетных ядер общая тенденция сохраняется, но периоды полураспада в 2 - 1000 раз больше, чем для четно-четных ядер с теми же Z и Qa.
Большинство вылетающих α-частиц имеет энергии Еа = 2 - 9 МэВ. Испускаемые α-частицы, как правило, имеют определенные энергии, характерные для каждого ядра. В ряде случаев спектр вылетающих α-частиц имеет тонкую структуру, т. е. состоит из нескольких близких друг к другу по энергии групп α-частиц.
Для точного определения области значений А и Z ядер, для которых энергетически возможен α-распад, надо воспользоваться экспериментальными данными об энергиях связи. Из них видно,что α-распад становится возможным, начиная с A≈140. В областях А=140-150 и А ≈210 величина Qa имеет отчетливые максимумы, которые объясняются в оболочечной модели ядра. Максимум при А=140-150 связан с заполнением нейтронной оболочки с магическим числом N=A-Z =82, а максимум при А≈210 связан с заполнением протонной оболочки при Z=82. Именно за счет такого оболочечного эффекта первая (редкоземельная) область α-активных ядер начинается с N= 84= 82 + 2, а тяжелые α-радиоактивные ядра становятся особенно многочисленными, начиная с Z=84.
Пусть внутри ядра радиуса R двигается «готовая» α-частица. В те моменты, когда она оказывается на поверхности ядра, она имеет возможность покинуть его с вероятностью Р. Рассмотрим потенциал V(r), в котором движется α-частица (рис. 7.5). За пределами ядра (r>R) - это положительный потенциал кулоновского отталкивания. На границе ядра вступает в игру мощное притяжение, обусловленное ядерными силами, и потенциальная кривая резко уходит вниз. Образуется потенциальный барьер. Потенциал внутри ядра (r<R) отрицателен, и его можно считать примерно постоянным. Итак,
Максимальная высота кулоновского барьера V>>Еа
Рассчитаем вероятность α-частице пройти сквозь такой барьер. Для этого необходимо решить стационарное уравнение Шрёдингера для частицы в центральном потенциале V(r):
, где (7.8)
- оператор кинетической энергии, а - лапласиан
Вместо μа нужно брать приведенную массу системы: , где М - масса конечного ядра, образующегося в результате α-распада. Тогда, представив радиальную волновую функцию частицы в виде:
приходим к одномерному уравнению Шрёдингера:
.(7.9)
Для простоты рассмотрим случай прямоугольного барьера шириной d = R0-R (рис. 7.6).
Уравнение (7.9) надо решить для областей 1, 2, 3. Пусть частица проходит барьер слева направо. Тогда искомое решение должно иметь вид распространя-ющейся вправо плоской волны Aeikr в области r>R0 и суммы падающей на барьер и отраженной от барьера волн (падающие и отраженные частицы) в области r<R:
Здесь .
Внутри барьера (область 2) волновая функция имеет вид u(r) = Ceqr + De-qr, (7.11)
причем нефизическое решение Ceqr, дающее растущую вероятность найти частицу по мере продвижения вглубь барьера, должно быть подавлено. Поэтому C/D ≈ 0.
Вероятность (коэффициент) прохождения через барьер Р есть отношение вероятностей обнаружить частицу в точках R0 и R. Для этого достаточно знать волновую функцию u(r) в области барьера (область 2):
Для определения вероятности проникновения через барьер произвольной формы необходимо выполнить интегрирование
где пределами интегрирования являются границы барьера, т. е. той области, в которой кинетическая энергия отрицательна.
Для того чтобы рассчитать постоянную распада λ, надо коэффициент прохождения умножить, во-первых, на вероятность wa того, что α-частица образовалась в ядре, и, во-вторых, на вероятность того, что она окажется на границе ядра. Грубую оценку этой последней вероятности можно получить, заметив, что если α-частица в ядре радиуса R имеет скорость v, то она будет подходить к границе в среднем v/(2R) раз в секунду. Отсюда для постоянной распада получаем выражение:
Из формулы (7.14) видно, что период полураспада сильно зависит от радиуса ядра, поскольку радиус R входит не только в предэкспоненциальный множитель, но и в показатель экспоненты, как предел интегрирования. Поэтому из данных по α-распаду можно довольно точно определять радиусы ядер. Полученные таким путем радиусы оказываются на 20-30% больше найденных в опытах по рассеянию электронов. Это различие связано с тем, что в опытах с быстрыми электронами измеряется радиус распределения электрического заряда в ядре, а в α-распаде измеряется то расстояние между центрами ядра и α-частицы, на котором перестают действовать ядерные силы.
29. Виды β-распада и энергетические условия
β-распадом называется процесс самопроизвольного превращения нестабильного ядра в ядро-изобар с зарядом, отличным на ΔZ=±1, в результате испускания электрона (позитрона) или захвата электрона. Период полураспада радиоактивных ядер изменяется от 10-2с до 1016 дет. Энергий β-распада заключена в пределах от 2,64 кэВ (для 187Re) до 16,6 МэВ (для 127N).
Известны три вида β-распада: β-, β+ -распад и е-захват (К-захват).
β---распад:
Простейшим примером электронного β-распада является (если не считатьβ-распад нейтрона) β--распад трития:
Этот процесс схематически изображен на (рис.99,а). В конечном итоге β--распад трития сводится к превращениюодногонейтрона в протон или, согласносовременным кварковым представлениям, к превращению одного d-кварка в u-кварк.
Энергетическое условие возможности β--распада ядра с массовым числом А и зарядом Z записывается так:
М(А, Z)>M(A, Z+1)+me. (18.1)
Масса исходного (β--радиоактивного) ядра должна быть больше суммы конечного ядра и электрона. Это условие можно выразить через массы атомов, если к левой и правой частям неравенства (18.1) прибавить по Zme:
Maт(A, Z)>Maт(A, Z+1). (18.2)
Энергия, выделяющаяся при β--распаде,Eβ- =[Maт(A, Z) -Maт(A, Z+ 1)]с2. (18.3)
β+-распад:
Примером позитронного β-распада является распад ядра 116С, сопровождающийся испусканием положительного электрона (позитрона):
В этом случае β+-распад ядра сводится как бы к превращению одного протона в нейтрон (рис. 99,6) или одного из u-кварков в d-кварк. Разумеется, это превращение надо понимать условно, так как масса протона меньше массы нейтрона, вследствие чего позитронный распад свободного протона невозможен. Однако для протона, связанного в ядре,подобное превращение возможно, так как недостающая энергия восполняется ядром.
Энергетическое условие β+-распада записывается по аналогии с условием β‑-распада:М(А, Z+1)>М (A, Z)+me. (18.4)
Если, прибавив к обеим частям неравенства по (Z+1)me, перейти от масс ядер к массам атомов, то неравенство приобретет следующий вид:
Мат(А, Z+1)> Мат(А, Z)+2me. (18.5)
Энергия, выделяющаяся при β+-распаде,
Eβ+=[Maт(A, Z) - Maт(A, Z-1) – 2me]с2. (18.6)
K-захват:
Третий вид β-радиоактивности - электронный захват (е-захват) - заключается в захвате ядром электрона из электронной оболочки собственного атома. Природа е-захвата была раскрыта при изучении сопровождающего его рентгеновского излучения. Оказалось, что оно соответствует переходу электронов на освободившееся место в электронной оболочке образующегося после е-захвата атома (А, Z-1).е-захват имеет существенное значение для тяжелых ядер, у которых К-оболочка расположена близко к ядру. Наряду с захватом электрона изK-оболочки (K-захват) наблюдается также захват электрона из L-оболочки (L-захват), из М-оболочки (М-захват) и т. д. Кроме характеристического рентгеновского излучения е-захват сопровождается испусканием электронов Оже.
Своеобразный характер процесса е-захвата (не испускание, а захват электрона ядром) приводит к тому, что в случае е-захвата постоянная радиоактивного распада λ несколько зависит от внешних условий. Это связано с тем, что вероятность е-захвата пропорциональна плотности электронов в ядре (т. е. величине |Ψe|2 в центре ядра), которая зависит от химической связи.
Примером легкого K-радиоактивного ядра является ядро 74Be, захватывающее K-электрон и превращающееся в ядро 73Li:
Схема е-захвата 74Be изображена на рис. 99, в.
Энергетическое условие возможности K-захвата записывается следующим образом:
М(А, Z) < M(A, Z+l) + me, (18.7)
а после прибавления к левой и правой частям по Z масс электронов
Мат(А, Z)<Мат(А, Z+1). (18.8)
Энергия, выделяющаяся при K-захвате,
EK=[Maт(A, Z+1) - Maт(A, Z)]с2(18.9)
Сопоставляя между собой неравенства (18.2), (18.5) и (18.8), можно прийти к следующим выводам:
1.Так как в случае Мат(А, Z)>Mат(A, Z+1) ядро (A, Z) является β---радиоактивным, а в случае Мат(А, Z) <Mат(A, Z+1) - К-радиоактивным, то, вообще говоря, не должно существовать двух соседних по заряду стабильных изобаров. Исключения возможны только тогда, когда соответствующие переходы запрещены из-за большого различия в моментах обоих ядер.
2. При выполнении неравенства (18.5) автоматически выполняется и неравенство (18.8), поэтому переходы между соответствующими ядрами возможны как посредством β+-распада, так и с помощью K-захвата. Примером может служить ядро 5225Mn, которое переходит в ядро 5224Gr в 35% случаев в результате β+-распада и в 65% случаев из-за K-захвата.
3.Для некоторых ядер (А, Z) может одновременно выполняться как условие (18.5) по отношению к изобару (A, Z-1), так и условие (18.2) по отношению к изобару (A, Z+1). В этом случае ядро (А, Z) будет одновременно испытывать все три вида β-превращений. Примером является ядро 6429Сu, которое в 40% случаев испускает электрон, в 40% случаев испытывает электронный захват и в 20% случаев испускает позитрон.