Оптимизация изменения плотности воздуха от высоты

Из курса общей физики мы знаем, что плотность воздуха определяется формулой:

(1.4.1)

где – высота над уровнем моря ( ), – высота МБР над уровнем Земли, – плотность воздуха на уровне Земли .

Но исследуя экспериментальные данные зависимости плотности воздуха от высоты, указанные в книге А.В. Солодова «Инженерный справочник по космической технике» (см. Приложение 1).

1 – по формуле 1.4.1 и 2 – экспериментально.

Видно не точность формулы (1.4.1). Для решения этой проблемы будем применять численные методы для более точного результата.

Используем метод, рассмотренный выше (метод линейной интерполяции пункт 1.4) в промежутке , а в промежутке используем метод параболической аппроксимации. Такая аппроксимация является не линейным, многочленом второй степени.

Коэффициенты определяются по методу наименьших квадратов. Запишем квадратичное отклонение.

Приравняем к нулю частные производные:

Выполнив преобразования, получим систему уравнений с тремя неизвестными (a₀,a₁,a₂).

Введем обозначения:

Определим неизвестные коэффициенты a₀,a₁,a₂

Необходимое условие: определитель системы

В результате мы можем с большей точности узнать плотность воздуха на любой высоте.

Моделирование полета

Для дальнейших расчетов возьмем межконтинентальную баллистическую ракету Р-9 / Р-9А (8К75)SS-8/(Sasin). Для которой в справочнике определены основные параметры:

Начальная масса

Диаметр ракеты

Скорость отделяющихся частиц

Доопределим параметры атмосферы:

Плотность воздуха на поверхности Земли

Высота над уровнем моря

Радиус Земли

Масса Земли

Скорость вращения Земли на экваторе

Постоянная тяготения Земли

Используя начальные условия и систему уравнений можно определить траекторию движения МБР методом дифференцирования описанный в пункте 1.3.

Так как мы дифференцируем уравнения дискретно с некоторым шагом, то это означает, что МБР прекратит дальнейшее движение только в случае, когда высота, на которой находится МБР, станет меньше нуля. Для устранения этого недочета будем использовать метод, описанный в пункте 1.4, но применим ее для нашего случая:

Будем искать коэффициенты a и b переменными и , где – высота МБР над уровнем Земли, – угол отклонения. В итоге получаем уравнения:

В нашем случае , в результате получаем

Определив угол отклонения, при котором высота МБР будет равна уровню Земли. Найдем дальность полета МБР:

Время работы двигателя определяется формулой:

где – масса боеголовки. Для более реалистичного полета будем учитывать массу оболочки ступени, для этого добавим к этой формуле коэффициент , который показывает отношения массы ступени к массе топлива.

Теперь мы в состоянии определить траекторию движения МБР при данных начальных условиях.

Глава 2. Результаты

Поиск по сайту: