Неопределенности . Если функции f(x) иф(x) дифференцируемые в окрестности точки a и являются бесконечно малыми (бесконечно большими) при , то из существования предела следует существование , причем
(4).
Раскрытие неопределенностей по формуле (4) называется правилом Лопиталя.
Пример 1. Вычислить .
Решение. При числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, мы имеем неопределенность . Рассмотрим предел отношения производных:
.
По формуле (4) данный предел тоже равен .
Пример 2. , т.к. при .
Замечание 1. В некоторых случаях, после применения формулы (4), отношение производных может оказаться неопределенностью . Тогда правило Лопиталя применяют еще раз, т.е. переходят к пределу отношения производных второго порядка.
Замечание 2. В целях сокращения вычислений рекомендуется правило Лопиталя применять в сочетании с другими приемами раскрытия неопределенностей.
Пример 3.
.
Получили предел произведения двух функций. Вычислим их отдельно. Предел второго сомножителя приводит к неопределенности . Чтобы ее раскрыть, применим правило Лопиталя повторно:
.
По теореме о пределе произведения исходный предел равен 0.
Пример 4. Вычислить .
Применение правила Лопиталя приводит к сложному выражению. Проще поступить так. При , , тогда .
Тогда
.
Таким образом, в данном примере мы использовали эквивалентность б.м. и повторное применение правила Лопиталя.
Неопределенности . Для применения правила Лопиталя к раскрытию этих неопределенностей путем тождественных преобразований необходимо их свести к неопределенности . Здесь можно использовать такие же приемы, как в пункте 3.
Пример 5. .
Решение. Неопределенность . Данное выражение представим в виде и вычислим отдельно предел показателя степени:
.
Тогда .
Пример 6.
Решение. Есть неопределенность , т.к. при . Рассмотрим логарифм данного выражения:
.
При , поэтому при . Используя эту эквивалентность, получим
.
Тогда .
Заключение. Мы рассмотрели некоторые приемы вычисления пределов функций одной переменной. Основное внимание при этом было уделено раскрытию неопределенностей различными методами. Существуют и другие, более тонкие методы раскрытия неопределенностей, не рассмотренные в настоящей работе. С ними вы сможете ознакомиться по книгам, список которых приведен выше.
Мы, считаем нужным отметить, что для овладения практикой вычисления пределов необходимо значительное количество упражнений. С этой целью к методическим указаниям приложены варианты контрольных работ. Задачи каждого варианта решить при следующих условиях:
1 – вычислить пределы с помощью алгебраических преобразований;
2 – вычислить пределы с помощью замечательных пределов;
3 – найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые;
4 – раскрыть неопределенности по правилам Лопиталя (при необходимости использовать другие приемы).