Читатель, знакомый с понятием неопределенности, обратил внимание на то, что почти все примеры, рассмотренные выше, относятся именно к этому случаю. Это объясняется тем, что основные сложности при вычислении пределов как раз связаны с раскрытием неопределенностей; пределы, вычисляемые по формуле (1) или с использованием арифметических операций над пределами, с точки зрения совершенства техники вычисления пределов, интереса не представляют.
Рассмотрим сначала неопределенности .
Напомним, что неопределенностью называется , когда и являются, бесконечно малыми при (а может быть конечным числом, или ). Неопределенности или это или , когда обе функции и стремятся к бесконечности при .
Заметим, что если одна из функций при имеет конечный предел, отношение не будет неопределенностью. Например, если .
Условно это обстоятельство записывают так: . Аналогичный смысл имеют и следующие равенства: .
Пример 1. Вычислить .
Решение. При . Имеем неопределенность . Для ее раскрытия достаточно разложить числитель и знаменатель на множители:
.
Пример 2.Вычислить .
Решение. Значение не принадлежит области определения данной функции, причем при . Имеем неопределенность . Введем новую переменную . При . Тогда
= . Здесь мы воспользовались тем, что
Пример 3.Вычислить .
Решение. Имеем неопределенность . Применим следующие преобразования: и вычислим предел каждого сомножителя отдельно (см.п.2) .
( воспользовались равенством );
.
По теореме о пределах произведения искомой предел равен
.
Пример 5.
.
Пример 6.Вычислить .
Решение. Неопределенность , т.к.
при , при .
Приводя к общему знаменателю, получим:
.
Перейдем к рассмотрению неопределенностей других видов.
Неопределенность . Неопределенность этого вида возникает при вычислении , когда , при . При помощи преобразований или можем перейти к неопределенности или .
Пример 7. =
.
Пример 8.Вычислить .
Решение. Т.к. . При имеем . Поэтому
.
Неопределенность . Говорят, что есть неопределенность . Если Данная неопределенность иногда сводится ко второму замечательному пределу. Для этогооснование необходимо представить в виде где б.м. при В других случаях неопределенность этого вида может быть сведена к неопределенности путем преобразования:
(2)
Пример 9.
Решение. Основаниеприследовательно, имеем неопределенностьСведем ее ко второму замечательному пределу. Для этого заметим, что
Тогда
Обозначим выражение видим, что при переменная тогда
Пример 10.
Решение. В данном примере тоже имеем неопределенность .
Воспользуемся формулой (2):
Неопределенность . Данная неопределенность связана с пределами вида , когда функции и являются б.м. при . Раскрытие ее осуществляется по формуле
.
Пример 11. .
Решение. Выражение при , тогда . Таким образом, имеем неопределенность . Раскроем вышеуказанным способом:
По такой же схеме раскрывается и неопределенность .
В целях упрощения соответствующих выкладок рекомендуется выражения предварительно прологарифмировать.
Пусть , тогда . Предел представляет собой неопределенность уже изученного вида . Допустим, что одним из указанных выше приемов нам удалось ее раскрыть и мы получили конечный предел или . Тогда будет, соответственно, равен или Точно также можно поступить и в случае неопределенностей .
Пример 12. .
Решение. Неопределенность вида . Найдем сначала предел логарифма данного выражения: