Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Простейшие приемы раскрытия неопределенностей



 

Читатель, знакомый с понятием неопределенности, обратил внимание на то, что почти все примеры, рассмотренные выше, относятся именно к этому случаю. Это объясняется тем, что основные сложности при вычислении пределов как раз связаны с раскрытием неопределенностей; пределы, вычисляемые по формуле (1) или с использованием арифметических операций над пределами, с точки зрения совершенства техники вычисления пределов, интереса не представляют.

Рассмотрим сначала неопределенности .

Напомним, что неопределенностью называется , когда и являются, бесконечно малыми при (а может быть конечным числом, или ). Неопределенности или это или , когда обе функции и стремятся к бесконечности при .

Заметим, что если одна из функций при имеет конечный предел, отношение не будет неопределенностью. Например, если .

Условно это обстоятельство записывают так: . Аналогичный смысл имеют и следующие равенства: .

 

Пример 1. Вычислить .

Решение. При . Имеем неопределенность . Для ее раскрытия достаточно разложить числитель и знаменатель на множители:

.

 

Пример 2.Вычислить .

Решение. Значение не принадлежит области определения данной функции, причем при . Имеем неопределенность . Введем новую переменную . При . Тогда

= . Здесь мы воспользовались тем, что

Пример 3.Вычислить .

Решение. Имеем неопределенность . Применим следующие преобразования: и вычислим предел каждого сомножителя отдельно (см.п.2) .

( воспользовались равенством );

.

По теореме о пределах произведения искомой предел равен

.

 

Пример 5.

.

 

Пример 6.Вычислить .

Решение. Неопределенность , т.к.

при , при .

Приводя к общему знаменателю, получим:

.

Перейдем к рассмотрению неопределенностей других видов.

Неопределенность . Неопределенность этого вида возникает при вычислении , когда , при . При помощи преобразований или можем перейти к неопределенности или .

 

Пример 7. =

.

 

Пример 8.Вычислить .

Решение. Т.к. . При имеем . Поэтому

.

Неопределенность . Говорят, что есть неопределенность . Если Данная неопределенность иногда сводится ко второму замечательному пределу. Для этогооснование необходимо представить в виде где б.м. при В других случаях неопределенность этого вида может быть сведена к неопределенности путем преобразования:

(2)

 

Пример 9.

Решение. Основаниеприследовательно, имеем неопределенностьСведем ее ко второму замечательному пределу. Для этого заметим, что

Тогда

Обозначим выражение видим, что при переменная тогда

Пример 10.

Решение. В данном примере тоже имеем неопределенность .

Воспользуемся формулой (2):

Неопределенность . Данная неопределенность связана с пределами вида , когда функции и являются б.м. при . Раскрытие ее осуществляется по формуле

.

 

Пример 11. .

Решение. Выражение при , тогда . Таким образом, имеем неопределенность . Раскроем вышеуказанным способом:

По такой же схеме раскрывается и неопределенность .

В целях упрощения соответствующих выкладок рекомендуется выражения предварительно прологарифмировать.

Пусть , тогда . Предел представляет собой неопределенность уже изученного вида . Допустим, что одним из указанных выше приемов нам удалось ее раскрыть и мы получили конечный предел или . Тогда будет, соответственно, равен или Точно также можно поступить и в случае неопределенностей .

 

Пример 12. .

Решение. Неопределенность вида . Найдем сначала предел логарифма данного выражения:

Следовательно, исходный предел равен

 

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.