Помощничек
Главная | Обратная связь


Археология
Архитектура
Астрономия
Аудит
Биология
Ботаника
Бухгалтерский учёт
Войное дело
Генетика
География
Геология
Дизайн
Искусство
История
Кино
Кулинария
Культура
Литература
Математика
Медицина
Металлургия
Мифология
Музыка
Психология
Религия
Спорт
Строительство
Техника
Транспорт
Туризм
Усадьба
Физика
Фотография
Химия
Экология
Электричество
Электроника
Энергетика

Векторное произведение и транспонирование матриц



Вектор-строка и вектор-столбец могут быть перемножены в любом порядке (оператор умно-жения * расположен на верхнем регистре клавиши с цифрой 8). Результатом будет или ска-ляр (внутреннее произведение) или матрица (внешнее произведение). Для приведенных выше векторов vи uимеем :

x = v*u

x =

X = u*v

X =

6 0 -3

2 0 -1

8 0 -4

Для действительных матриц, операция транспонирования меняет взаимное местоположение элементов aij aji, симметричных относительно главной диагонали. Для обозначения транс-понирования MATLAB использует одиночную кавычку (апостроф) (‘). Для нашей симметри-чной матрицы Паскаля A’ = A.Однако матрица Вне является симметричной и поэтому:

 

X = B'

X =

8 3 4

1 5 9

6 7 2

Транспонирование превращает вектор-строку в вектор-столбец и наоборот. Если xиy оба яв-ляются действительными векторами, то произведение x*yне определено, но оба произве-дения x'*yи y'*xдают один и тот же скаляр. Это соотношение используется так часто, что имеет три различных имени: скалярное произведение, внутреннее произведение и точечное произведение.

Для комплексного вектора или матрицы,z, величина z' обозначет комплексно-сопряженное транспонирование. В MATLAB-е предусмотрены также поэлементные операции над элеме-нтами массивов. Признаком поэлементных операций служит точка после обозначения пере-менной. Так, транспонирование элементов матрицы zкак массива чисел обозначается z.', по аналогии с другими операциями на массивами чисел. Например, если

z = [1+2i 3+4i]

то

z' =

I

I

 

тогда как z.' есть

 

z.' =

1+2i

3+4i

Для комплексных векторов, два скалярных произведения x'*yиy'*x комплексно сопряжены, а скалярное произведение x'*x комплексного вектора с самим собой есть действительное число.

Произведение матриц

Для произведения двух совместимых Аи В матриц в MATLAB–е достаточно записать в ко-мандной строке С = А*В. MATLAB самостоятельно проверит совместимость размерностей матриц и выдаст результат. Если матрицы несовместимы, выдается сообщение об ошибке:

 

Error using ==> *

Inner matrix dimensions must agree.

Индексирование (Subscripts)

Для краткого рассмотрения некоторых основных понятий, связанных с индексированием дву-мерных массивов (матриц), введем «волшебную» матрицу 4-го порядка:

 

F = magic(4)

F =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

Элемент в i-ой строке и j-ом столбце матрицы Fобозначается через F (i,j). Например, F (4,2)есть число в четвертой строке и втором столбце. Для нашего волшебного квадрата, F(4,2) есть 14. Таким образом, можно вычислить сумму элементов четвертого столбца матрицы F,напечатав

 

F (1,4) + F (2,4) + F (3,4) + F (4,4)

 

Это дает ответ

ans =

но, как мы увидим в дальнейшем, не является самым элегантным способом суммирования элементов одного столбца.

Имеется также возможность обращения к элементам матрицы при помощи одного индекса, F(k). Это обычный способ обращения к элементам векторов (строк или столбцов). Но в MATLAB-е такой способ индексирования можно применить и к двумерным (в общем случае – многомерным) матрицам, так как система MATLAB хранит все многомерные массивы чи-сел в виде одного длинного вектора-столбца, сформированного из столбцов исходной матри-цы. Так, для нашего волшебного квадрата, F (8)есть другой способ обращения к начени 14 хранящемуся в F (4,2).

Если вы попытаетесь использовать элемент, находящийся вне размеров матрицы, это приве-дет к сообщению об ошибке

 

t = F (4,5)

Index exceeds matrix dimensions

(Индекс превышает размерность матрицы)

С другой стороны, если вы попытаетесь запомнить какое-либо число вне размеров матрицы, размер будет соответствующим образом увеличен увеличен, чтобы принять новое значение.

X = A;

X(4,5) = 17

X =

16 3 2 13 0

5 0 11 8 0

9 6 7 12 0

4 15 14 1 17

Двоеточие (Colon)

Двоеточие, : , является одним из наиболее важных операторов MATLAB-а. Оно встречается в нескольких разных формах. Выражение 1:10есть вектор-строка, содержащий целвые числа от 1до 10:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Чтобы получить неединичное приращение, нужно задать приращение. Например,

100 : -7 : 50

есть

100 93 86 79 72 65 58 51

а

Pi/4 : pi

есть

 

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

 

Индексы, содержащие двоеточия, допускают обращение к частям матриц. Так, выражение

F (1:k, j)

 

дает первые k элементов j-го столбца матрицыF.То есть,

 

Sum(F (1:4, 4))

 

вычисляет, как и в примере выше, сумму элементов 4-го столбца. Но есть еще лучший путь. Двоеточие само по себе означает обращение ко всем элементам строки или столбца матрицы, а зарезервированное слово end есть обращение к последним строке или столбцу матрицы (в случае векторов-строк или столбцов слово end есть обращение к последнему элементу векто-ра). Значит,

Sum(F (:, end))

 

вычисляет сумму элементов последнего столбца матрицы F . Ответ: ans = 34. Почему маги-ческая сумма для волшебного квадрата 4 х 4 равна 34 ? Дело в том, что если целые числа от 1 до 16 (число элементов матрицы размера 4 х 4) упорядочены в четыре группы с равными сум-мами элементов, эта сумма должна быть равна

 

Sum(1:16)/4

 

что, конечно, дает ans = 34.

 

 




Поиск по сайту:

©2015-2020 studopedya.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.