 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Аппроксимация и интерполяция функций в системе Mathcad
Аппроксимация функций Аппроксимация функций заключается в приближенной замене заданной функции f(x) некоторой функцией Φ(x) так, чтобы отклонение функции Φ(x) от f(x) в заданной области было наименьшим. Функция Φ(х) при этом называется аппроксимирующей. Типичной задачей аппроксимации функций является задача интерполяции. Таблично заданная функция – эта функция, аналитический вид которой неизвестен, а ее значения известны лишь при некоторых дискретных значениях аргумента. Эта ситуация довольно часто встречается, например, при экспериментальном исследовании зависимости одной величины от другой (или нескольких других). В этом случае проводятся измерения зависимой переменной (значения функции) при некотором наборе фиксированных условий (независимой переменной). Таблично заданная функция F (или функция, заданная на сетке), таким образом, может быть представлена в виде таблицы значений зависимой переменной Y при дискретных значениях независимой переменной X (x1, x2, …, xn) : yi = F(xi)
Совокупность значений независимой переменной {x1., x2, …, xn} называют сеткой, на которой задана функция, отдельные значения независимой переменной называют узлами сетки. Обычно предполагается, что узлы упорядочены по возрастанию: x1 < x2 < …< xn Узлы могут располагаться на произвольном расстоянии друг от друга, либо на одинаковом, в последнем случае сетка называется равномерной, а расстояние между узлами – шагом сетки h xi+1 - xi = h для всех i = 1, 2, …, n-1 Задачей интерполирования является получение значений зависимой переменной в любой точке x на отрезке [x1, xn], не совпадающей с узлами сетки. Решение этой задачи сводится к отысканию некоторой приближающей функции f(x), которая в некотором смысле близка к F(x), и для которой известно аналитическое выражение. При решении задачи интерполяции требуется, чтобы во всех узлах сетки значения таблично заданной и приближающей функции строго совпадали: f(xi) = F(xi) = yi для всех i = 1, 2, …, n-1 Таким образом, задача интерполяции заключается в следующем. Для заданных n + 1 точек xi = х0, х1, . . ., хn, которые называются узлами интерполяции, и значений в этих точках некоторой функции f(xi) = y0, y1, . . ., yn построить полином Φ(х) (интерполяционный полином) степени n вида
принимающий в узлах интерполяции хi те же значения yi, что и функция f(xi):
Поиск по сайту: |
(1),
(2).
Различают глобальную и локальную интерполяцию. Простейшим видом глобальной интерполяции является параболическая интерполяция, когда, используя описанные выше условия (2), для отыскания неизвестных n + 1 коэффициентов а0, а1, . . ., аn выражения (1) получают систему из n + 1 уравнений
(3).
Для интерполяции используют интерполяционную формулу Лагранжа 
(4).
Для построения интерполяционной формулы Лагранжа в MathCAD используют функцию if, записанной в виде if(cond, tval, fval) -возвращает значение tval, если cond отличен от 0 (истина); возвращает значение fval, если cond равен 0 (ложь).
Интерполяция при большом числе узлов приводит к необходимости работать с многочленами высокой степени, 50-й или 100-й. Это приводит к проблемам при вычислениях. Поэтому часто используют интерполяцию кусочными многочленами (локальная интерполяция).
При локальной интерполяции между различными узлами выбираются различные многочлены невысокой степени. В MathCAD есть для этого следующие возможности: средства линейной интерполяции (функция linterp) и интерполяции сплайном (функция interp) – линейным (lspline), параболическим (pspline) и кубическим (cspline).
Интерполирование функций полиномами
Классическим методом интерполяции таблично заданных функций является интерполяция полиномами Lm(x):
Старшая степень переменной x определяет степень полинома. Очевидно, что полином степени m полностью определяется m+1 параметром ai. Поэтому для интерполяции функции, заданной в n узлах можно использовать полином степени m = n - 1. Сравнивая выражение для Lm(x) и общее определение для математической модели, линейной по отношению к параметрам, получим, что:
, ... , 
, ... , 
Система линейных уравнений в матричной форме примет вид
В рамках линейной алгебры доказывается, что определитель этой матрицы (он называется определителем Вандермонда) отличен от нуля, если все xi различны, поэтому система уравнений будет иметь единственное решение.
Интерполирование полиномами помимо самостоятельной ценности в качестве инструмента решения задачи интерполирования функций, играет так же важную роль при численном решении многих других математических других задач, например, вычислении определенных интегралов, решении обыкновенных дифференциальных уравнений и многих других.
Задание по теме № 3-2. (продолжение) Решение систем линейных уравнений. Аппроксимация и интерполяция.
Ответы на задачи необходимо предоставить с точностью до шести значащих цифр.
При выполнении задания используйте методы решения систем линейных уравнений и задачи, которые к ним сводятся – интерполяция функциями и полиномами, задачи о составе смесей (в лекциях рассмотрены).
1. Зависимость теплоемкости метана от температуры описывается уравнением
Найдите значение констант a, b, c, d и вычислите теплоемкость метана при 300 °С и 400 °С, если известно, что
, 
