Аксіоми теорії ймовірностей та їх наслідки

Загалом функції дійсних змінних бувають визначеними не на всій множині дійсних чисел, а лише на певній її підмножині, яку називають областю визначення функції.

Імовірність також не завжди можна визначити для будь-яких підмножин множини Ω (простору елементарних подій). Тому доводиться обмежуватися певним класом підмножин, до якого висуваються вимоги замкненості відносно операцій додавання, множення та віднімання.

Нехай задано довільний простір елементарних подій — множину Ω і Q — деяка система випадкових подій.

Система подій називається алгеброю подій, якщо:

1. Ώ Î Q.

2. Із того, що А Î Q, В Î Q, випливає: що А В Î Q , А В Î Q, А \ В Î Q.

Із тверджень 1 і 2 дістаємо, що Ø = Ώ \ Ώ, а отже, Ø Ì Q. Наймен­шою системою, яка буде алгеброю подій, є Q = (Ø, Ώ). Якщо Ώ — обмежена множина, то система Q також буде обмеженою. Якщо множина містить n елементів, то кількість усіх підмножин буде 2ⁿ.

Якщо Ω є неперервною множиною, то система Q утворюється квадровними підмножинами множини Ω, які також утворюють алгебру подій.

Числова функція Р, що визначена на системі подій Q, називається ймовірностю, якщо:

1. Q є алгеброю подій.

2. Для будь-якого А Ì Q існує .

3. Р (Ω) = 1.

4. Якщо А і В є несумісними (А В = Ø), то

. (6)

Для розв’язування задач з нескінченними послідовностями подій, наведені аксіоми необхідно доповнити аксіомою неперервності.

5. Для будь-якої спадної послідовності подій із Q, такої, що Ø, випливає рівність

.

Трійка (Q, Ω, Р), де Q є алгеброю подій і Р задовольняє аксіоми 1—5, називається простором імовірностей.

Приклад 1. Задано множину цілих чисел Ω = {1, 2, …, 30}. Навмання з цієї множини беруть одне число. Яка ймовірність того, що воно виявиться кратним 5 або 7?

Розв’язання. Простір Ω містить n = 30 елементарних подій.

Позначимо через А подію, що полягає в появі числа, кратного 5, а через В у появі числа, кратного 7. Тоді дістанемо:

;

;

Ø.

Згідно з (6) маємо:

.

Приклад 2. Садівник восени посадив 10 саджанців яблуні. Кожний із саджанців може прийнятись або не прийнятись із певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що з 10 саджанців навесні наступного року приймуться 6 або 2?

Розв’язання. Множина Ω містить n = 2¹⁰ елементарних подій. Нехай А — випадкова подія, яка полягає в тому, що число саджанців, котрі проросли, дорівнює 6; В — число саджанців, що проросли, дорівнює 2.

Кількість елементарних подій, які сприяють появі А:

.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі В:

.

Оскільки А В = Ø, маємо:

.

Приклад 3. У ящику міститься 13 однакових деталей, серед яких 5 є бракованими, а решта — стандартними. Навмання з ящика беруть чотири деталі. Яка ймовірність того, що всі чотири деталі виявляться стандартними або бракованими?

Розв’язання. Множина Ω містить
елементарних подій. Позначимо через А появу чотирьох стандартних деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі А: . Позначимо через В появу чотирьох бракованих деталей. Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, .

Згідно з (6) дістанемо:

.

Наслідки аксіом

1. Якщо випадкові події А₁, А₂, А₃, … А_n є несумісними попарно, то

. (7)

2. Якщо випадкові події А_1, А₂, А₃, … А_n утворюють повну групу, то

. (8)

Із рівності А = Ω і аксіом 3, 4 випливає, що

. (9)

Якщо Ø, то

. (10)

Справді:

, то

Ø). (11)

Оскільки

і при цьому = Ø, то

Отже,

.

3. Формула додавання для n сумісних випадкових подій має такий вигляд:

(12)

Наприклад, для трьох сумісних випадкових подій формулу (12) можна записати так:

. (13)

4. Якщо випадкова подія А сприяє появі , то

. (14)

Приклад 1. В урні містяться 30 однакових кульок, які пронумеровані від 1 до 30. Навмання із урни беруть одну кульку. Яка ймовірність того, що номер кульки виявиться кратним 3 або 5?

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій множини Ω n = 30.

Позначимо через А = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} (m₁ = 10) —
появу кульки з номером, кратним 3, а через В = {5, 10, 15, 20, 25, 30}
(m₂ = 6) — появу кульки із номером, кратним 5.

є подіями сумісними.

Згідно з (10) дістанемо

.

Приклад 2. Чотири спортсмени мають виконати норму майстра спорту. Кожний із них може виконати її із певною ймовірністю. Яка ймовірність того, що із чотирьох спортсменів норму майстра спорту виконують не менш як два спортсмени; не більш як три?

Розв’язання. Позначим через А₁ А₂ А₃ А₄ випадкові події, що відповідно перший, другий, третій та четвертий спортсмени виконають норму майстра, а через — відповідно випадкові події, що перший, другий, третій та четвертий спортсмени не виконають норму. Тоді простір елементарних подій для цього експерименту буде:

W = {А₁ А₂ А₃ А₄, А₁ А₂ А₃ , А₁ А₂ А₄, А₁ А₃ А₄, А₂ А₃ А₄, А₁ А₂ , А₃ А₄, А₂ А₄, А₁ А₃ , А₁ А₄, А₂ А₃ , А₁ , А₂ , А₃ , А₄, }, n = 16.

Випадкові події:

А = {А₁ А₂ , А₃ А₄, А₁ А₃ , А₂ А₄, А₁ А₄, А₂ А₃ , А₂ А₃ А₄, А₁ А₃ А₄, А₁ А₂ А₄, А₁ А₂ А₃ , А₁ А₂ А₃ А₄}, m₁ = 11;

В = {А₁ А₂ А₃ , А₁ А₂ А₄, А₁ А₃ А₄, А₂ А₃ А₄, А₁ А₂ , А₃ А₄, А₂ А₄, А₁ А₃ , А₁ А₄, А₂ А₃ , А₁ , А₂ , А₃ , А₄, }, m₂ = 15;

А В = {А₁ А₂ А₃ , А₁ А₂ А₄, А₁ А₃ А₄, А₂ А₃ А₄, А₁ А₂ , А₃ А₄, А₂ А₄, А₁ А₃ , А₁ А₄, А₂ А₃ }, m₃ = 10.

Шукана ймовірність:

.

Приклад 3. Випадкові події А₁, А₂, А₃, А₄ є попарно несумісними і утворюють повну групу. Знайти Р (А₁), Р (А₂), Р (А₃), Р (А₄), коли відомо, що Р (А₁) = 0,2 Р (А₂), Р (А₂) = 0,8
Р (А₃), Р (А₃) = 0,5 Р (А₄).

Розв’язання. Оскільки випадкові події А₁, А₂, А₃, А₄ є попарно несумісними і утворюють повну групу, то згідно з (8) дістаємо:

.

За умовою задачі знаходимо:

Р (А₂) = 0,8 Р (А₃) = 0,8 × 0,5 Р (А₄) = 0,4 Р (А₄).

Р (А₁) = 0,2 Р (А₂) = 0,2 × 0,4 (А₄) = 0,08 Р (А₄).

Отже,

0,08 Р (А₄) + 0,4 Р (А₄) + 0,5 Р (А₄) + Р (А₄) = 1;

;

;

;

.

Поиск по сайту: