Класичне означення ймовірності

Приклад 1

1. У земних умовах вода, нагріта до температури 100 °С, набуває стану кипіння.

2. Якщо в урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10, то кулька, навмання взята із цієї урни, має номер, що міститься в межах від 1 до 10.

Подія називається неможливою, якщо в результаті експерименту, проведеного з додержанням певного комплексу умов, вона не настає ніколи. Неможлива подія позначається символом Æ (порожня множина).

Приклад 2

1. В урні міститься 10 однакових кульок, пронумерованих від 1 до 10. Навмання береться одна кулька. Поява кульки з номером 12 буде подією неможливою.

2. Якщо на дослідній ділянці посіяти 100 зернин ячменю, то подія, котра полягає в тому, що на момент збирання врожаю на цій ділянці з’явиться колосок пшениці, є неможливою.

Подія називається випадковою, якщо за певного комплексу умов у результаті експерименту вона може настати або не настати залежно від дії численних дрібних факторів, урахувати які дослідник не в змозі.

Випадкові події позначають символами А, В, С, … або А₁, А₂, А₃,…, А_k; В₁, В₂, …, В_n.

Отже, випадкові події пов’язані експериментами, наслідки яких є неоднозначними.

Приклад 3

1. Монету підкидають один раз. (Тут і далі припускаємо, що падає монета на рівну і тверду підлогу.) Поява герба (цифри) — подія випадкова.

2. Якщо на дослідній ділянці в лабораторних умовах посіяно 100 зернин ячменю, то не можна передбачити наперед, скіль­ки зернин проросте. Отже, подія, яка полягає в тому, що проросте від 1 до 100 зернин, є випадковою.

1. Прості та складені випадкові події.
Простір елементарних подій

Теорія ймовірностей як один із розділів математики досліджує певний вид математичних моделей — моделі випадкових подій, а не самі такі події.

Математичні моделі, як відомо, відбивають найістотніші властивості досліджуваних об’єктів, абстрагуючись від неістотних.

Для математичного опису випадкових подій — наслідків експерименту — застосовують такі точні поняття: прості (елементарні) та складені випадкові події, простір елементарних подій.

Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту), називається простою (елементарною) випадковою подією.

Елементарні події позначаються w_і (і = 1, 2, 3,…) і в теорії ймовір­ностей, так само як, скажімо, точка в геометрії, не поділяються на простіші складові.

Приклад 1. Монету підкидають один раз. Визначити елементарні події цього експерименту.

Розв’язання. Можливі такі елементарні випадкові події:

w₁ = г (монета випаде гербом);

w₂ = ц (монета випаде цифрою).

Приклад 2. Монету підкидають тричі. Визначити елементарні події цього експерименту.

Розв’язання. Триразове підкидання монети — це одна спроба. Елементарними випадковими подіями будуть:

w₁ = ггг (тричі випаде герб);

w₂ = ццц (тричі випаде цифра);

w₃ = ггц

w₄ = гцг (герб випаде двічі);

w₅ = цгг

w₆ = гцц

w₇ = цгц (герб випаде один раз).

w₈ = ццг

Отже, цьому експерименту відповідають вісім елементарних подій.

Приклад 3. Задано дві множини цілих чисел W₁ = , W₂ = . Із кожної множини навмання беруть по одно­му числу. Визначити елементарні події цього експерименту — появу пари чисел.

w₁ = 1; 1; w₅ = 2; 1; w₉ = 3; 1;

w₂ = 1; 2; w₆ = 2; 2; w₁₀ = 3; 2;

w₃ = 1; 3; w₇ = 2; 3; w₁₁ = 3; 3;

w₄ = 1; 4; w₈ = 2; 4; w₁₂ = 3; 4.

Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості (елементарні) події. Складені випадкові події позначаються латинськими великими літерами: A, B, C, D, … .

Приклад 4. Задано множину чисел W = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. Навмання із цієї множини беруть одне число. Побудувати такі випадкові події: 1) з’явиться число, кратне 2; 2) число кратне 3; 3) число, кратне 5. Ці випадкові події будуть складеними. Позначимо їх відповідно А, В, С. Тоді А =
= {2, 4, 6, 8, 10, 12}; В = {3, 6, 9, 12}; С = {5, 10,}.

Елементарні випадкові події w_і Î A, w_j Î B, w_k Î C, які належать відповідно складеним випадковим подіям А, В, С, тобто є елементами цих множин, називають елементарними подіями, які сприяють появі кожної із зазначених подій унаслідок проведення експерименту (w_і сприяють появі події А, w_j — події В, w_k — події С).

Кожному експерименту (спробі) з випадковими результатами (наслідками) відповідає певна множина W елементарних подій w_i, кожна з яких може відбутися (настати) внаслідок його проведення: w_і Î W. Множину називають простором елементарних подій.

Приклад 5. Гральний кубик, кожна грань якого позначена певною цифрою від 1 до 6, підкидають один раз. При цьому на грані випадає одна із зазначених цифр. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту (множину Ώ) і такі випадкові події: 1) А — випаде число, кратне 2;
2) В — випаде число, кратне 3.

Розв’язання. Оскільки кубик має шість граней, то в результаті експерименту може випасти одна із цифр від 1 до 6.

Отже, Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; 1) А = {2, 4, 6}; 2) В = {3, 6}.

Приклад 6. Монету підкидають чотири рази. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту і такі випадкові події:

1) А — герб випаде двічі; 2) В — герб випаде не менш як тричі.

Розв’язання. Шуканий простір елементарних подій:

Ώ = {гггг, гггц, ггцг, гцгг, ццгг, ггцц, гццг, гцгц, цгцг, ццгг, цггц, гццц, цгцц, ццгц, цццг, цццц};

1) А = {ггцц, ццгг, гцгц, цгцг, гццг, цггц};

2) В = {гггг, гггц, ггцг, гцгг, цггг).

Простір елементарних подій може бути як дискретним, так і неперервним. Якщо множина є зчисленною (зліченною), тобто всі її елементи можна перелічити або принаймні пронумерувати (кожній елементарній події поставити у відповідність один і тільки один елемент нескінченної послідовності натуральних чисел 1, 2, 3, …), то простір елементарних подій називають дискретним. Він може бути обмеженим і необмеженим.

У противному разі (тобто коли кожній елементарній події не мож­на поставити у взаємно однозначну відповідність певне натуральне число) простір елементарних подій називають неперервним.

У розглянутих раніше прикладах простори елементарних подій були дискретними.

Приклади неперервних (недискретних) просторів елементарних подій дістанемо, розглянувши:

1) розміри однотипних деталей (діаметр, довжина), що їх виготов­ляє робітник або верстат-автомат;

2) покази приладів, що вимірюють масу, силу струму, напругу, опір і т. ін.

Отже, поняття елементарної події, простору елементарних подій є основними в теорії ймовірностей, як точка та пряма в аксіоматично побудованій евклідовій геометрії. Сама природа елементарних подій у теорії ймовірностей при цьому неістотна.

Простір елементарних подій є математичною моделлю певного ідеалізованого експерименту в тому розумінні, що будь-який можливий його наслідок описується однією і лише однією елементарною подією — наслідком експерименту.

Мовою теорії множин випадкова подія А означується як довільна непорожня підмножина множини W (А Ì W).

Операції над подіями

üДодавання. Сумою двох подій А і В називається така подія С = А В (С = А + В), яка внаслідок експерименту настає з настанням принаймні однієї з подій А або В. Подію А В схематично зображено на рис. 1 заштрихованою областю.

Рис. 1

Операція А В називається об’єднанням цих подій.

üМноження. Добутком двох подій А і В називається така подія С = А В (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням подій А і В.

Операція А В називається перерізом цих подій (рис. 2).

Рис. 2

üВіднімання. Різницею двох подій А і В називається така подія
С = А \ В (С = А – В), яка внаслідок експерименту настає з настанням події А і одночасним ненастанням події В (рис. 3).

Рис. 3

Приклад. Задано множину цілих чисел Ώ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}. Навмання з неї беруть одне число.

Побудувати випадкові події: 1) А — узяте число кратне 2;
2) В — кратне 3.

Визначити А В; А∩В; А \ В.

Розв’язання. 1) А = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; 2) В = {3, 6, 9, 12, 15}.

Звідси дістаємо:

А В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} {3, 6, 9, 12, 15} = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15};

А∩В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} ∩ {3, 6, 9, 12, 15} = {6, 12};

А \ В = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} \ {3, 6, 9, 12, 15} = {2, 4, 8, 10, 14}.

Якщо А∩В ¹ Æ, то випадкові події А і В називають сумісними.

Якщо А∩В = Æ, то такі випадкові події А і В називають несумісними.

Повна група подій. Протилежні події. Якщо А₁ A₂ A₃ …
… A_n = = W, то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій А_і обов’язково настане.

Приклад. При одноразовому підкиданні грального кубика обов’язково з’явиться одна із цифр, що є на його гранях, а саме: А₁ = 1, А₂ = 2, А₃ = 3, А₄ = 4, А₅ = 5, А₆ = 6. Отже, випадкові події А_і (і = ) утворюють повну групу: = Ω =
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають протилежними.

Подія, яка протилежна А, позначається . Протилежні події у просторі елементарних подій ілюструє рис. 4. Він унаочнює також співвідношення: А = Ω, А∩ = Æ.

Рис. 4

Випадкові події А, В, С (А Ì Ω, В Ω, С Ω), для яких визначено операції додавання, множення та віднімання, підлягають таким законам:

1. А А = А, А А = А.
2. А В = В А. 3. А В = В А.	Комутативний закон для операцій додавання та множення.
4. (А В) С = А (В С). 5. (А В) С = А (В С).	Асоціативний закон для операцій додавання та множення.
6. (А В) С = (А С) (В С).	Перший дистрибутивний закон.
7. (А В) С = (А С) (В С).	Другий дистрибутивний закон.

8. А Ω = Ω.

9. А Ω = А.

10. А Æ = А.

11. А Æ = Æ.

12. = Ω \ А.

13. = Æ.

14. = Ω.

15. А (А ) = А; В = В (В ).

16. .

17. .

Елементарні випадкові події задовольняють такі твердження: 1) між собою несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими, а саме: усі елементарні події мають однакові можливості відбутися внаслідок проведення одного експерименту.

Для дискретного простору Ω перші два твердження можна записати так: 1) ω_і ω_j = Æ, і ј; 2) = Ω.

Для кількісного вимірювання появи випадкових подій і їх комбінацій уводиться поняття ймовірності події, що є числом такої ж природи, як і відстань у геометрії або маса в теоретичній механіці.

Класичне означення ймовірності

Імовірністю випадкової події А називається невід’ємне число Р(А), що дорівнює відношенню числа елементарних подій m (0 m n), які сприяють появі А, до кількості всіх елементарних подій n простору Ω:

Р (А) = . (1)

Для неможливої події Р (Æ) = 0 (m = 0);

Для вірогідної події Р (Ω) = 1 (m = n).

Отже, для довільної випадкової події

. (2)

Приклад 1. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта — стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?

Розв’язання. Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього експерименту:

n = 15.

Нехай А — подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює дев’яти
(m = 9). Згідно з (1) маємо:

.

Приклад 2. Гральний кубик підкидають один раз. Яка ймовірність того, що на грані кубика з’явиться число, кратне 3?

Розв’язання. Число всіх елементарних подій для цього експерименту n = 6. Нехай В — поява на грані числа, кратного 3. Число елементарних подій, що сприяють появі В, дорівнює двом (m = 2).

Отже,

.

Приклад 3. Два гральні кубики підкидають по одному разу. Побудувати простір елементарних подій — множину Ώ і такі випадкові події:

А — сума цифр виявиться кратною 4;

В — сума цифр виявиться кратною 3.

Обчислити Р (А), Р (В), Р (А В).

Розв’язання. Простір елементарних подій — множину W запишемо у вигляді таблиці:

Отже, простір елементарних подій W містить n = 36 пар чисел.

Події А і В визначимо з допомогою побудованої таблиці так: елементарні події, які сприяють появі А (сума цифр кратна 4), заштриховані вертикальними лініями, а для В (сума кратна 3) — горизонтальними лініями. Звідси маємо: число елементарних подій, що сприяють появі А, дорівнює дев’яти (m₁ = 9), а число елементарних подій, що сприяють появі В, — дванадцяти (m₂ = 12), число елементарних подій, що сприяють появі події А В, дорівнює одиниці (m₃ = 1) (темні клітинки таблиці).

Остаточно дістаємо:

.

Приклад 4. У кожній із трьох урн містяться червоні та сині кульки. Із кожної урни навмання беруть по одній кульці. Побудувати простір елементарних подій для цього експерименту — множину W і такі випадкові події:

А — серед трьох навмання взятих кульок дві виявляються червоного кольору;

В — серед трьох кульок дві виявляються синього кольору. Обчислити Р (А), Р (В), Р (А В).

Розв’язання. Позначимо появу кульки червоного кольору як Ч, а синього кольору як С. Тоді простір елементарних подій буде такий: = {ЧЧЧ, ЧЧС, ЧСЧ, СЧЧ, ЧСС, СЧС, ССЧ, ССС}, n = 8.

Події: А = {ЧЧС, ЧСЧ, СЧЧ}, m₁ = 3;

В = {ССЧ, СЧС, ЧСС}, m₂ = 3.

Події А і В є несумісними (А В = Æ).

Обчислюємо: ; ; Р (А В) = 0.

Приклад 5. В електричну мережу увімкнено чотири електролампочки. При проходженні електричного струму в мережі кожна електролампочка із певною ймовірністю може перегоріти або не перегоріти. Побудувати простір елементарних подій (множину W) — числа електролампочок, які не перегорять, і такі випадкові події:

А — із чотирьох електролампочок перегорять не більш як дві;

В — не менш як три. Обчислити Р (А), Р (В), Р (А В).

Розв’язання. Нехай А_i (і = ) відповідно першу, другу, третю та четверту електролампочку, що не перегорять, а — що перегорять. Тоді простір елементарних подій буде:

W = {А₁ А₂ А₃ А₄, А₁ А₂ А₃ А₁ А₂ А₄, А₁ А₃ А₄, А₂ А₃ А₄, А₁ А₂ , А₃ А₄, А₂ А₄, А₁ А₃ , А₁ А₄, А₂ А₃ , А₁ , А₂ , А₃ , А₄, }, n = 16.

Випадкові події:

А = {А₁ А₂ , А₃ А₄, А₁ А₃ , А₂ А₄, А₁ А₄, А₂ А₃ , А₂ А₃ А₄, А₁ А₃ А₄, А₁ А₂ А₄, А₁ А₂ А₃ , А₁ А₂ А₃ А₄}, m₁ = 11.

В = {А₁ А₂ , А₃ А₄, А₁ А₃ , А₂ А₄, А₁ А₄, А₂ А₃ , А₁ , А₂ , А₃ , А₄, }, m₂ = 11.

А В = {А₁ А₂ , А₃ А₄, А₁ А₃ , А₂ А₄, А₁ А₄, А₂ А₃ }, m₃ = 6.

; ; .

4. Елементи комбінаторики
в теорії ймовірностей: переставлення,
розміщення та комбінації

При розв’язуванні задач з теорії ймовірностей побудувати простір елементарних подій (множину W) можна не завжди.

Для більшості прикладних задач така побудова пов’язана з виконанням великого обсягу робіт, а нерідко й взагалі неможлива. Щоб обчислити ймовірність тієї чи іншої випадкової події для певного класу задач із дискретним і обмеженим простором елементарних подій, необхідно вміти обчислити кількість n усіх елементарних подій (елементів множини W) і число m елементарних подій, які сприяють появі випадкової події.

Існує клас задач, в яких для обчислення n і m використовуються елементи комбінаторики: переставлення, розміщення та комбінації. У комбінаториці оперують множинами однотипних елементів.

Загалом множини бувають упорядковані та невпорядковані.

Множину називають упорядкованою, якщо при її побудові істотним є порядок розміщення елементів.

У противному разі множину називають невпорядкованою.

Переставлення. Переставленням із n елементів називають такі впорядковані множини з n елементів, які різняться між собою порядком їх розміщення.

Кількість таких упорядкованих множин обчислюється за формулою

, (3)

де n набуває лише цілих невід’ємних значень.

Оскільки , то при n = 1 маємо

1! = 0!

Отже, 0! = 1.

Приклад 1. На кожній із шести однакових карток записано одну з літер

Я, І, Р, Е, О, Т.

Яка ймовірність того, що картки, навмання розкладені в рядок, утворять слово

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій (елементів множини Ω)

n = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі слова ТЕОРІЯ,
m = 1. Позначивши розглядувану подію через В, дістанемо:

.

Приклад 2. Задано множину цілих чисел Ω = {1, 2, 3, 4, 5}. Її елементи навмання розставляють у рядок. Обчислити ймовірності таких випадкових подій:

А — розставлені в ряд числа утворюють зростаючу послідовність;

В — спадну послідовність;

С — цифра 1 стоятиме на першому місці, а 5 — на останньому;

D — цифри утворять парне п’ятицифрове число.

Розв’язання. Простір елементарних подій для цього експерименту міститиме n = 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 несумісних, рівноймовірних елементарних подій.

Кількість елементарних подій, що сприяють появі А, дорівнює одиниці (m₁ = 1).

Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, дорівнює одиниці (m₂ = 1).

Для випадкової події С m₃ = 3!

Для випадкової події D m₄= 4! 2 = 48.

Обчислюємо: ; ;

; .

Розміщення. Розміщенням із n елементів по m (0 ) називаються такі впорядковані множини, кожна із яких містить m елементів і які відрізняються між собою порядком розташування цих елементів або хоча б одним елементом.

Кількість таких множин обчислюється за формулою

. (4)

Наприклад, .

Приклад 1. Маємо дев’ять однакових за розміром карток, на кожній з яких записано одну з цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Навмання беруть чотири картки і розкладають в один рядок. Яка ймовірність того, що при цьому дістанемо

Розв’язання. Кількість елементарних подій множини W буде .

Кількість елементарних подій, що сприяють появі 1, 9, 7, 3, дорівнює одиниці (m = 1). Позначимо цю випадкову подію через В. Тоді

.

Приклад 2. У кімнаті перебувають 10 студентів. Яка ймовірність того, що два і більше студентів не мають спільного дня народження?

Розв’язання. Вважаємо, що рік має 365 днів. Для кожного студента в загальному випадку існує 365, а для 10 студентів — 365¹⁰ можливих днів народження. Отже, маємо n = 365¹⁰ елементарних подій множини Ω. Позначимо через В випадкову подію, яка полягає в тому, що дні народження студентів не збігаються. Кількість елементарних подій, що сприяють появі В, .

Остаточно маємо: .

Комбінації. Комбінаціями з n елементів по називаються такі множини з m елементів, які різняться між собою хоча б одним елементом.

Кількість таких множин

. (5)

Приклад 1. У цеху працює 10 верстатів-автоматів, кожний із яких може з певною ймовірністю перебувати в роботоздат­ному стані або в стані поломки. Яка ймовірність того, що під час роботи верстатів-автоматів із ладу вийдуть три з них?

Розв’язання. Оскільки кожний верстат-автомат може перебувати у двох несумісних станах — роботоздатному або нероботоздатному, то кількість усіх елементарних подій множини Ω буде n = 2¹⁰.

Позначимо через А випадкову подію — із ладу вийде три верстати з десяти. Тоді кількість елементарних подій, що сприяють появі А, буде

.

Отже,

.

Приклад 2. У шухляді міститься 10 одинотипних деталей, 6 із яких є стандартними, а решта бракованими. Навмання із шухляди беруть чотири деталі. Обчислити ймовірність таких випадкових подій:

А — усі чотири деталі виявляються стандартними;

В — усі чотири деталі виявляються бракованими;

D — із чотирьох деталей виявляються дві стандартними і дві бракованими.

Розв’язання. Кількість усіх елементарних подій множини Ω

;

кількість елементарних подій, що сприяють події А:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі В:

;

кількість елементарних подій, що сприяють появі D:

.

Обчислимо ймовірності цих подій:

;

;

.

Поиск по сайту: