МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПЛОЩАДИ ФИГУРЫ И ЕДИНИЦ ЕЁ ИЗМЕРЕНИЯ

Понятие о площади фигуры имеет любой человек: мы говорим о площади комнаты, площади земельного участка, о площади поверхности, которую надо покрасить, и так далее. При этом мы понимаем, что если земельные участки одинаковы, то площади их равны; что у большего участка площадь больше; что площадь квартиры слагается из площади комнат и площади других её помещений.

Это обыденное представление о площади используется при её определении в геометрии, где говорят о площади фигуры. Но геометрические фигуры устроены по-разному, и поэтому когда говорят о площади, выделяют особый класс фигур. Например, рассматривают площади многоугольников и других ограниченных выпуклых фигур, или площадь круга, или площадь поверхности тел вращения и так далее. В начальном курсе математики рассматриваются только площади многоугольников и ограниченных выпуклых плоских фигур. Такая фигура может быть составлена из других. Например, фигура F, (рис.), составлена из фигур F1, F2, F3. Говоря, что фигура составлена (состоит) из фигур F1, F2,…,Fn, имеют в виду, что она является их объединением, и любые две данные фигуры не имеют общих внутренних точек.

Площадью фигуры называется положительная величина, определённая для каждой фигуры так, что:

I/ равные фигуры имеют равные площади;

2/ если фигура составлена из конечного числа фигур, то её площадь равна сумме их площадей;

3/ существует фигура, площадь которой равна 1.

Если сравнить данное определение с определением длины отрезка, то увидим, что площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина - на множестве отрезков, а площадь - на множестве плоских фигур.

Знакомство с понятием «площадь фигуры» начинается с уточнения представлений, имеющихся у учащихся о данной величине. Исходя из своего жизненного опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как размер, выражая его в понятиях «больше», «меньше», «равно» между их размерами.

Используя эти представления, можно познакомить детей с понятием «площадь», выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга одна целиком помещается в другой.

«В этом случае, - говорит учитель, - в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой фигуры».

Когда же фигуры при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны или совпадают. Этот вывод ученики могут сделать самостоятельно.

Но возможен и такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью в другой. Например, два прямоугольника, один из которых квадрат (рис.).

После безуспешных попыток уложить один прямоугольник в другой учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой 9 таких же квадратиков (рис.). Ученики совместно с учителем делают вывод, что для сравнения площадей, так же как и для сравнения длин, можно воспользоваться меркой.

Возникает вопрос: какая фигура может быть использована в качестве мерки для сравнения площадей?

Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник, равный половине площади квадрата M – M1, или прямоугольник, равный половине площади квадрата М – М2, или 1/4площади квадрата – M3. Это может быть квадрат M или треугольник М. (рис.).

М М1 М2 М3

Учащиеся укладывают в прямоугольники различные мерки и подсчитывают их число в каждом.

Так, пользуясь меркой M1, они получают 20 М1 и 18 М1. Измерение меркой М3 даёт 40 М2 и 36 М2.

В заключение учитель может предложить измерить площадь одного прямоугольника меркой M1, а площадь другого прямоугольника (квадрата) меркой М2. В результате выясняется, что площадь прямоугольника равна 20, а площадь квадрата 36.

«Как же так, - говорит учитель, - получается, что в прямоугольнике уложилось мерок меньше, чем в квадрате? Может быть, вывод, который мы сделали раньше, о том, что площадь квадрата больше площади прямоугольника, неверен?»

Поставленный вопрос помогает акцентировать внимание детей на том, что для сравнения площадей необходимо пользоваться единой меркой.

Перед знакомством школьников с единицей площади полезно провести практическую работу, связанную с измерением площади данной фигуры различными мерками. Например, измеряя площадь прямоугольника квадратиками, получаем число 10, измеряя прямоугольником, состоящим из двух квадратиков, получаем число 5. Если мерка равна 1/2 квадратика, то получаем 20, если ¼ квадратика, то получаем 40.(рис.)

Дети подмечают, что каждая следующая мерка состоит из двух предыдущих, то есть её площадь больше площади предыдущей мерки в 2 раза. Отсюда вывод: во сколько раз увеличилась площадь мерки, во столько же раз увеличилось численное значение площади данной фигуры.

С этой целью можно предложить детям такую ситуацию. Трое учеников измеряли площадь одной и той же фигуры (фигура предварительно чертится в тетрадях или на листочках). В результате каждый ученик получил в ответе первый - 8, второй - 4, а третий -2. Учащиеся догадываются, что результат зависит от той мерки, которой пользовались ученики при измерении. Задания такого вида подводят к осознанию необходимости введения общепринятой единицы площади - 1 см (квадрат со стороной 1см). Модель 1 см вырезается из плотной бумаги. С помощью этой модели измеряются площади различных фигур. В этом случае учащиеся сами придут к выводу, что измерить площадь фигуры - значит узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит.

Измеряя площадь фигуры с помощью модели, школьники убеждаются в том, что укладывать 1 см в фигуре неудобно и занимает много времени. Гораздо удобнее использовать прозрачную пластину, на которую нанесена сетка из квадратных сантиметров. Она называется палеткой. Учитель знакомит с правилами пользования палеткой. Она накладывается на произвольную фигуру.

Подсчитывается число полных квадратных сантиметров (пусть оно равно а). Затем подсчитывается число неполных квадратных сантиметров (пусть оно равно b), делится на 2.

(а+b):2.

Измеряя линейкой длину и ширину прямоугольника, учащиеся замечают или учитель обращает их внимание на то, что число квадратов, которые укладываются по длине, давно численному значению длины прямоугольника, а число строк совпадает с числовым значением ширины.

На следующем этапе учащиеся знакомятся с приемом вычисления S прямоугольника (квадрата). Сначала рассматривается прямоугольники, которые уже разделены на квадратные сантиметры. Их S находят путем подсчета квадратных сантиметров в одном ряду, а затем полученное число умножают на число рядов.

Затем дети чертят прямоугольник по заданным измерениям, разбивают его на ряды, а один ряд на квадраты и снова убеждаются в соответствии: если длина 4 см, то в одном ряду, прилегающем к этой стороне, содержится 4 квадратных сантиметра, если ширина 3 см, то таких рядов оказывается 3. Число квадратных сантиметров равно произведению чисел 4 и 3.

После того как учащиеся убедятся в этом экспериментально на нескольких прямоугольниках, учитель может познакомить их с правилом вычисления площади прямоугольника: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и ширину и перемножить эти числа.

Впоследствии правило формулируется более кратко: площадь прямоугольника равна его длине, умноженной на ширину. При этом длина и ширина должны быть выражены в единицах одного наименования.

В то же время учащиеся приступают к сопоставлению площади и периметра многоугольников с тем, чтобы дети не смешивали эти понятия, а в дальнейшем чётко различали способы нахождения площади и периметра многоугольников. Выполняя практические упражнения с геометрическими фигурами, дети подсчитывают число квадратных сантиметров и тут же вычисляют периметр многоугольника в сантиметрах.

В процессе решения задач на вычисление S и Р прямоугольника следует показать, что фигуры, имеющие одинаковую S, могут иметь неодинаковые Р, и что фигуры, имеющие одинаковые Р, могут иметь неодинаковые S. Это легко наблюдать при заполнении таблицы:

Наряду с решением задач на нахождение площади прямоугольника по данным длине и ширине решают обратные задачи на нахождение одной из сторон, по данным площади и другой стороне.

Площадь - это произведение чисел, полученных при измерении длины и ширины прямоугольника, значит, нахождение одной из сторон прямоугольника сводится к нахождению неизвестного множителя по известным произведению и множителю. Например:

Площадь садового участка 100 м, длина участка 25 м. Какова его ширина? (100:25=4)

Кроме простых задач, решаются и составные задачи, в которых наряду с площадью включается и периметр. Например:

Огород имеет форму квадрата, периметр которого 320 м. Чему равна площадь огорода?

1) 320:4=80 (м)- длина огорода;

2) 80*80=1600(м)- площадь огорода.

Введение дм²

Ученикам предлагается измерить площадь двух фигур F и F , начерченных на листах. Для этого им предлагается модель квадратного сантиметра.

Пусть площадь фигуры F1- 8 квадратных сантиметров, а площадь фигуры F2 - 20 квадратных сантиметров. При измерении фигуры F2 ученики испытывают затруднения. Затем для измерения фигуры F2 предлагается другая мерка - квадрат со стороной один квадратный дециметр. Ученики повторяют процесс измерения и выясняют, что с помощью новой мерки измерить площадь фигур F2 легче и быстрее. Далее учитель сообщает, что для измерения площадей более крупных фигур используют мерку, которая называется один квадратный дециметр, т.е. это квадрат со стороной один дециметр. Затем модель квадратного дециметра предлагается измерить моделью квадратного сантиметра. В процессе измерения ученики выясняют, что один квадратный дециметр равен 10 квадратным сантиметрам.

Вводится соотношение: 1 дм²=100 см²

Детям предлагаются задачи на вычисление площади, они учатся заменять мелкие единицы крупными, и наоборот.

Сколько всего см² в 4 дм²? В 5 дм²?

Полезно предлагать упражнения на вычисление площади фигур, состоящих из нескольких фигур.

В 4 классе вводятся м², км², мм².

Введение м²

Предложенную ниже работу целесообразно проводить на улице или в коридоре. Мелом вычерчивается прямоугольник площадью 10 квадратных метров. Детям предлагается измерить площадь этой фигуры с помощью модели квадратного дециметра. У учащихся не получается выполнить задание, тогда им предлагается измерить площадь данной фигуры с помощью новой мерки (модели квадратного метра). Учащиеся, повторив процесс измерения новой меркой, выясняют, что с её помощью измерить площадь фигуры легче. Далее учитель сообщает, что эта мерка называется квадратный метр, т.е. квадрат со стороной один метр. Эту мерку используют для измерения площадей больших фигур или участков земли и т.д. Затем предлагается моделью квадратного дециметра измерить площадь новой мерки. Выполнив процесс измерения, учащиеся устанавливают, что в одном квадратном метре 10 квадратных дециметров и соответственно, 100 квадратных сантиметров.

Позднее вводятся такие единицы длины, как ар и гектар.

Знакомство с единицами площади завершается составлением таблицы единиц:

1 см²=100 мм² 1 дм²=10 000 мм²

1 дм²=100 см² 1 м²=10 000 см²

1 м²=100 дм² 1 а=10 000 дм²

1 а=100 м² 1 га=10 000 м²

1 га=100 а 1 км²=10 000 а

1 км²=100 га 1 км²=1 000 000 м²

Дети учатся переводить одни единицы в другие, решают задачи с использованием данных единиц.

Рассматриваются случаи сложения и вычитания, умножения с данными единицами.

Поиск по сайту: