 |
|
|
Архитектура Астрономия Аудит Биология Ботаника Бухгалтерский учёт Войное дело Генетика География Геология Дизайн Искусство История Кино Кулинария Культура Литература Математика Медицина Металлургия Мифология Музыка Психология Религия Спорт Строительство Техника Транспорт Туризм Усадьба Физика Фотография Химия Экология Электричество Электроника Энергетика |
Рівняння лінійні та Бернуллі ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Означення 9. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називають рівняння, яке містить шукану функцію
Теорема 1. Загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння першого порядку вигляду (18) можна знайти за формулою
Доведення. Будемо шукати розв'язок рівняння (18)у вигляді
Одну із цих функцій можна взяти довільно, а друга буде визначатися так, щоб їх добуток задовольняв рівняння (18).Диференціюванням рівності (20)по
Підставимо (20)та (21) у задане рівняння (18).Тоді
Визначимо
Це рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Відокремлюючи змінні, одержимо
Нам достатньо взяти
Підставимо функцію
Підстановка одержаних функцій
що й треба було довести. Відмітимо, що формула (19)здається складною. Але вона значно спрощує розв'язування багатьох диференціальних рівнянь і якщо її не пам'ятати, то кожного разу цю формулу треба виводити. Означення 10.Диференціальне рівняння першого порядку вигляду де Рівняння Бернуллі підстановкою зводиться до лінійного рівняння відносно функції Дійсно, помножимо рівняння Бернуллі (25)на
Тоді рівняння Бернуллі прийме вигляд
Загальний розв'язок лінійного рівняння (27)знайдемо за формулою (19) у вигляді
Звідси знаходять загальний розв'язок
Приклад 8.Розв'язати рівняння Розв'язання. Запишемо це рівняння у вигляді
Це рівняння Бернуллі з
Зробимо заміну
Це лінійне рівняння відносно
Використали основну логарифмічну тотожність Отже, одержали:
– загальний розв'язок рівняння Бернуллі. Висновок:Ми ознайомились з основними поняттями та задачами теорії диференціальних рівнянь, з правилами та методами ДР першого порядку, а саме, розглянули ДР з відокремленими змінними, однорідними, лінійними, Бернуллі. Отже, мета лекції досягнута.
Лекція розроблена:професором кафедри ВМ Онищенко В.В._____________
Поиск по сайту: |
та її похідну 
у першій степені. Таке рівняння можна привести до вигляду
. (18)
.(19)
. (20)
одержимо:
. (21)
або 
(22)
так, щоб вираз у дужках дорівнював нулю, тобто, виконувалась рівність
. (23)
.
.Тому візьмемо 
, тоді
.(24)
.
та 
(25)
та 
називають рівнянням Бернуллі. 
(26)
.
і зробимо підстановку (26),при якій
.
.(27)
.
рівняння Бернуллі.
.
.
.Поділимо його на 
, одержимо:
.
, тоді 
і рівняння прийме вигляд
.
.
.